Vectơ trong không gian

Những bài tập mà Kho_đề_thi Kiến thức Hình học không gian xin tổng hợp lại bạn đọc về Vectơ trong không gian, nội dung được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Bài viết trình bày lý thuyết và một số bài tập điển hình có lời giải chi tiết chủ đề vectơ trong không gian – đây là nội dung thuộc chương trình Hình học 11 chương 3.

Kiến thức cần nắm vững:
Cho các vectơ $vec a$, $vec b$, $vec c$ trong không gian và $l,k in R.$
1. Phép cộng vectơ:

vecto-trong-khong-gian-1

Lấy $O$ tùy ý trong không gian.
Vẽ $overrightarrow OA = vec a$, $overrightarrow AB = vec b$ thì $overrightarrow OB = vec a + vec b.$
Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm bất kì $M$, $N$, $K$ thì $overrightarrow MN = overrightarrow MK + overrightarrow KN .$

2. Phép trừ vectơ:
$vec a – vec b = vec a + ( – overrightarrow b ).$
Quy tắc ba điểm: $overrightarrow MN = overrightarrow KN – overrightarrow KM .$

3. Tích của một vectơ với một số:
Tích vectơ $vec a$ với số thực $k$ là một vectơ kí hiệu $kvec a$:
+ Cùng hướng $vec a$ nếu $k > 0.$
+ Ngược hướng $vec a$ nếu $k < 0.$
+ $left| koverrightarrow a right| = left| k right|left| overrightarrow a right|.$
Tính chất:
$k(vec a + vec b) = kvec a + kvec b.$
$(l + k)vec a = loverrightarrow a + kvec a.$
Hệ quả: Nếu $I$ là trung điểm của $AB$, $O$ tùy ý thì $overrightarrow OA + overrightarrow OB = 2overrightarrow OI .$
4. Tích vô hướng của hai vectơ:
Định nghĩa: $overrightarrow a .overrightarrow b = left| overrightarrow a right|left| overrightarrow b right|cos widehat left( {overrightarrow a ,overrightarrow b right)}.$
Hệ quả:
$vec a bot vec b Leftrightarrow vec a.vec b = 0.$
$vec a^2 = vec a.vec a = left right|^2}.$
Tính chất:
$vec a(vec b + vec c) = overrightarrow a overrightarrow b + overrightarrow a overrightarrow c .$
$vec a(kvec b) = (kvec a)vec b = k(vec a.vec b).$
$(vec a + vec b)^2 = {vec a right|^2} + 2vec a.vec b + left right|^2}.$
5. Sự đồng phẳng của các vectơ:
Ba vectơ $vec a$, $vec b$, $vec c$ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng.
Cho $vec a$, $vec b$ không cùng phương: $vec a$, $vec b$, $vec c$ đồng phẳng $ Leftrightarrow exists !m,n in R:vec c = mvec a + nvec b.$
Nếu ba vectơ $vec a$, $vec b$, $vec c$ không đồng phẳng thì mọi vectơ đều được biểu diễn dưới dạng $vec d = mvec a + nvec b + kvec c$ với $m$, $n$, $k$ xác định duy nhất.

Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của $ΔABC$ và $O$ là điểm bất kì trong không gian. Chứng minh: $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = overrightarrow OM + overrightarrow ON + overrightarrow OP .$

vecto-trong-khong-gian-2

Do $M$ là trung điểm $BC$, ta có: $overrightarrow OB + overrightarrow OC $ $ = (overrightarrow OM + overrightarrow MB ) + (overrightarrow OM + overrightarrow MC )$ $ = 2overrightarrow OM + (overrightarrow MB + overrightarrow MC ) = 2overrightarrow OM $ $(1).$
Tương tự:
$overrightarrow OA + overrightarrow OB = 2overrightarrow OP $ $(2).$
$overrightarrow OA + overrightarrow OC = 2overrightarrow ON $ $(3).$
Lấy $(1) + (2) + (3)$ ta được: $2(overrightarrow OB + overrightarrow OA + overrightarrow OC )$ $ = 2(overrightarrow OM + overrightarrow OP + 2overrightarrow ON )$ $ Rightarrow overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC $ $ = overrightarrow OM + overrightarrow OP + overrightarrow ON .$

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(P).$ Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $CD.$ Gọi $I$ là trung điểm $EF.$
a) Chứng minh: $overrightarrow IA + overrightarrow IB + overrightarrow IC + overrightarrow ID = vec 0.$
b) Trên mặt phẳng $(P)$ tìm điểm $M$ sao cho $left| overrightarrow {MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC + overrightarrow MD } right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

a)

vecto-trong-khong-gian-3

Do $E$ là trung điểm $AB$ nên $overrightarrow IA + overrightarrow IB = 2overrightarrow IE .$
Do $F$ là trung điểm $CD$ nên $overrightarrow IC + overrightarrow ID = 2overrightarrow IF .$
Vậy $(overrightarrow IA + overrightarrow IB ) + (overrightarrow IC + overrightarrow ID )$ $ = 2overrightarrow IE + 2overrightarrow IF $ $ = 2(overrightarrow IE + overrightarrow IF )$ $ = vec 0$ (do $I$ là trung điểm $EF$).
b)

vecto-trong-khong-gian-4

Ta có: $(overrightarrow MA + overrightarrow MB ) + (overrightarrow MC + overrightarrow MD )$ $ = 2overrightarrow ME + 2overrightarrow MF $ $ = 2(overrightarrow ME + overrightarrow MF ) = 4overrightarrow MI .$
Do đó: $left| overrightarrow {MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC + overrightarrow MD } right|$ $ = left| 4overrightarrow {MI } right| = 4MI.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(P)$ ta có $IM ≥ IH.$
Vậy MÁ + MB + MG + MD] ngắn nhất $left| overrightarrow {MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC + overrightarrow MD } right|$ ngắn nhất $ Leftrightarrow MI$ ngắn nhất $ Leftrightarrow M equiv H.$

Ví dụ 3: Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ cố định trên mặt phẳng $(α)$ và $M$ di động trong không gian.
a) Xác định điểm $I$ sao cho $3overrightarrow IA – 2overrightarrow IB + overrightarrow IC = vec 0.$
b) Cho điểm $N$ sao cho $overrightarrow MN = 3overrightarrow MA – 2overrightarrow MB + overrightarrow MC .$ Chứng minh đường thẳng $MN$ luôn qua một điểm cố định.

a) Ta có: $3overrightarrow IA – 2overrightarrow IB + overrightarrow IC = vec 0$ $ Leftrightarrow 3overrightarrow IA – 2(overrightarrow IA + overrightarrow AB ) + (overrightarrow IA + overrightarrow AC ) = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow IA = overrightarrow AB + overrightarrow AB – overrightarrow AC $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow IA = overrightarrow AB + overrightarrow CB $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow AI = overrightarrow BA + overrightarrow BC = 2overrightarrow BE $ (với $E$ là trung điểm $AC$).
Vậy $I$ là điểm cố định sao cho $overrightarrow AI = overrightarrow BE .$
b) Ta có: $overrightarrow MN = 3overrightarrow MA – 2overrightarrow MB + overrightarrow MC $ $ Leftrightarrow overrightarrow MN = 3(overrightarrow MI + overrightarrow IA )$ $ – 2(overrightarrow MI + overrightarrow IB ) + (overrightarrow MI + overrightarrow IC )$ $ Leftrightarrow overrightarrow MN = 2overrightarrow MI + (3overrightarrow IA – 2overrightarrow IB + overrightarrow IC )$ $ Leftrightarrow overrightarrow MN = 2overrightarrow MI .$
Do đó ba điểm $M$, $N$, $I$ thẳng hàng nên đường thẳng $MN$ luôn qua điểm $I$ cố định.

Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $I$ và $J$ là trung điểm $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ và $N$ là hai điểm chia đoạn $BC$ và $AD$ theo tỉ số $k.$ Chứng minh $I$, $J$, $M$ và $N$ cùng nằm trên mặt phẳng.

vecto-trong-khong-gian-5

Ta có: $M$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $k$ $ Leftrightarrow overrightarrow MB = koverrightarrow MC .$
$N$ chia đoạn $AD$ theo tỉ số $k$ $ Leftrightarrow overrightarrow NA = koverrightarrow ND .$
Ta có: $overrightarrow JI = frac12(overrightarrow JA + overrightarrow JB )$ $ = frac12(overrightarrow JD + overrightarrow DA + overrightarrow JC + overrightarrow CB )$ $ = frac12(overrightarrow DA + overrightarrow CB )$ $ = frac12(overrightarrow NA – overrightarrow ND + overrightarrow MB – overrightarrow MC )$ $ = frac12(koverrightarrow ND – overrightarrow ND + koverrightarrow MC – overrightarrow MC )$ $ = frac{k – 1}2(overrightarrow NJ + overrightarrow JD + overrightarrow MJ + overrightarrow JC )$ $ = frac{k – 1}2(overrightarrow NJ + overrightarrow MJ ).$
Do đó $overrightarrow JI $, $overrightarrow JN $, $overrightarrow JM $ đồng phẳng.
Suy ra $J$, $I$, $M$, $N$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Ví dụ 5: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’.$ Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm $CD$ và $DD’.$ Gọi $G$ và $G’$ lần lượt là trọng tâm tứ diện $A’D’MN$ và $BCC’D’.$ Chứng minh $GG’$ song song mặt phẳng $(ABB’A’).$

vecto-trong-khong-gian-6

Đặt $overrightarrow AB = vec a$, $overrightarrow AD = vec b$, $overrightarrow AA’ = vec c.$
Ta có: $G$ trọng tâm tứ diện $A’D’MN$ $ Leftrightarrow overrightarrow GA’ + overrightarrow GD’ + overrightarrow GM + overrightarrow GN = vec 0.$
Do đó: $4overrightarrow AG = overrightarrow AG + overrightarrow AG + overrightarrow AG + overrightarrow AG $ $ Leftrightarrow 4overrightarrow AG = left( overrightarrow {AA’ + overrightarrow A’G } right)$ $ + left( overrightarrow {AD’ + overrightarrow D’G } right)$ $ + (overrightarrow AM + overrightarrow MG )$ $ + (overrightarrow AN + overrightarrow NG )$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow AG = overrightarrow AA’ + overrightarrow AD’ + overrightarrow AM + overrightarrow AN $ $ Leftrightarrow 4overrightarrow AG = vec c + (vec b + vec c) + left( vec b + frac{{vec a}2} right) + left( vec b + frac{{vec c}2} right)$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow AG = 3vec b + frac52vec c + frac{vec a}2.$
Tương tự: $4overrightarrow AG’ = overrightarrow AB + overrightarrow AC + overrightarrow AC’ + overrightarrow AD’ $ $ Leftrightarrow 4overrightarrow AG’ = vec a + (vec a + vec b)$ $ + (vec a + vec b + vec c) + (vec b + vec c)$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow AG’ = 3(overrightarrow a + overrightarrow b + overrightarrow c ).$
Do đó: $4left( overrightarrow {AG – overrightarrow AG’ } right) = – frac52vec a – frac12vec c$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow G’G = frac52overrightarrow AB – frac12overrightarrow A{A^prime } .$
Vậy ba vectơ $overrightarrow G’G $, $overrightarrow AB $, $overrightarrow AA’ $ đồng phẳng.
Mặt khác $G notin mpleft( ABB’A’ right).$
Do đó $GG’//mpleft( ABB’A’ right).$

Ví dụ 6: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’.$ Lấy hai điểm $M$ và $N$ lần lượt trên hai cạnh $B’C’$ và $CD$ sao cho $B’M = CN.$ Chứng minh $AM$ vuông góc $BN.$

vecto-trong-khong-gian-7

Gọi $a$ là cạnh hình lập phương.
Gọi $vec u = overrightarrow AB $, $vec v = overrightarrow AD $, $vec w = overrightarrow AA’ $ thì $|vec u| = |vec v| = |vec w| = a.$
Đặt $x = B’M = CN$ $(0 le x le a).$
Ta có: $B’M = fracxa cdot B’C’$ và $M$ nằm giữa hai điểm $B’$ và $C’$ nên $overrightarrow B’M = fracxaoverrightarrow B’C’ = fracxa.overrightarrow v .$
Tương tự: $overrightarrow CN = fracxa cdot overrightarrow CD = – fracxa cdot vec u.$
Vậy $overrightarrow AM = overrightarrow AA’ + overrightarrow A’B’ + overrightarrow B’M $ $ = vec w + vec u + fracxavec v$ và $overrightarrow BN = overrightarrow BC + overrightarrow CN = vec v – fracxa cdot vec u.$
Do đó: $overrightarrow AM .overrightarrow BN = left( vec w + vec u + frac{xavec v} right).left( vec v – frac{xavec u} right)$ $ = overrightarrow w .overrightarrow v – fracxaoverrightarrow w .overrightarrow u + overrightarrow u .overrightarrow v $ $- fracxa.overrightarrow u ^2 + fracxa.overrightarrow v ^2 – frac{{x^2}}{{a^2}}overrightarrow v .overrightarrow u .$
Mà $vec u bot vec v$, $vec u bot overrightarrow w $ và $vec w bot vec v$ nên $overrightarrow AM .overrightarrow BN = – fracxa|vec u^2 + fracxa|vec v^2$ $ = – xa + xa = 0.$
Do đó: $AM bot BN.$

Ví dụ 7: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tùy ý trong không gian. Chứng minh:
a) $AB ⊥ CD$ khi và chỉ khi $AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2.$
b) Nếu $AB ⊥ CD$ và $AD ⊥ BC$ thì $AC ⊥ BD.$

a) Ta có: $AC^2 + BD^2 = overrightarrow {AC ^2} + overrightarrow {BD ^2}$ $ = (overrightarrow {AD + overrightarrow DC )^2} + (overrightarrow {BC + overrightarrow CD )^2}$ $ = overrightarrow {AD ^2} + overrightarrow {DC ^2} + 2overrightarrow AD .overrightarrow DC $ $ + overrightarrow {BC ^2} + overrightarrow {CD ^2} + 2overrightarrow BC .overrightarrow CD $ $ = AD^2 + BC^2 + 2overrightarrow {DC ^2}$ $ + 2overrightarrow AD .overrightarrow DC – 2overrightarrow BC .overrightarrow DC $ $ = AD^2 + BC^2 + 2overrightarrow DC (overrightarrow DC + overrightarrow AD – overrightarrow BC )$ $ = AD^2 + BC^2 + 2overrightarrow DC (overrightarrow AD + overrightarrow DC + overrightarrow CB )$ $ = AD^2 + BC^2 + 2overrightarrow DC .overrightarrow AB .$
Do $AB bot CD Leftrightarrow overrightarrow DC .overrightarrow AB = 0$ nên $AB bot CD$ $ Leftrightarrow AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2.$
b) Ta có: $overrightarrow AB .overrightarrow CD + overrightarrow AD .overrightarrow BC + overrightarrow AC .overrightarrow DB $ $ = overrightarrow AB (overrightarrow AD – overrightarrow AC )$ $ + overrightarrow AD (overrightarrow AC – overrightarrow AB )$ $ + overrightarrow AC (overrightarrow AB – overrightarrow AD )$ $ = overrightarrow AB .overrightarrow AD – overrightarrow AB .overrightarrow AC $ $ + overrightarrow AD .overrightarrow AC – overrightarrow AD .overrightarrow AB $ $ + overrightarrow AC .overrightarrow AB – overrightarrow AC .overrightarrow AD $ $=0$ (đây là hệ thức Euler) $(*).$
Do đó $AB bot CD$ và $AD bot BC$ thì $overrightarrow AB .overrightarrow CD = overrightarrow AD .overrightarrow BC = 0.$
Từ $(*)$ suy ra $overrightarrow AC .overrightarrow DB = 0$ $ Rightarrow AC bot DB.$

Ví dụ 8: Cho $ABCD.A’B’C’D’$ là hình lập phương cạnh có độ dài $1.$ Trên $BB’$, $CD$, $A’D’$ lấy $M$, $N$, $P$ sao cho $B’M = CN = D’P = a$ $(0 < a < 1).$ Chứng minh:
a) $overrightarrow MN = – aoverrightarrow AB + overrightarrow AD + (a – 1)overrightarrow AA .$
b) $AC’$ vuông góc với $MN$ và $NP.$

vecto-trong-khong-gian-8

Đặt $overrightarrow AB = vec u$, $overrightarrow AD = vec v$, $overrightarrow AA’ = vec w.$
a) Ta có: $overrightarrow MN = overrightarrow MB + overrightarrow BC + overrightarrow CN .$
Ta có: $frac{MB}{BB’} = frac{1 – a}1$ $ Rightarrow overrightarrow MB = (1 – a)overrightarrow B’B = (a – 1)overrightarrow AA’ $ và $overrightarrow BC = overrightarrow AD .$
Ta có: $frac{CN}{CD} = fraca1$ $ Rightarrow overrightarrow CN = aoverrightarrow CD = – aoverrightarrow AB .$
Do đó: $overrightarrow MN = (a – 1)overrightarrow AA’ + overrightarrow AD – aoverrightarrow AB .$
b) Ta có: $overrightarrow AC’ = overrightarrow AB + overrightarrow AD’ $ $ = overrightarrow AB + left( overrightarrow {AD + overrightarrow AA’ } right)$ $ = vec u + vec v + vec w.$
Mà $overrightarrow MN = (a – 1)vec w + vec v – avec u.$
Do đó: $overrightarrow AC’ .overrightarrow MN $ $ = (vec u + vec v + vec w).[(a – 1)vec w + vec v – avec u]$ $ = – a + 1 + (a – 1) = 0$ $(1)$ (do $vec u.vec w = 0$, $vec u.vec v = 0$, $vec w.vec v = 0$, $|vec u| = |vec v| = |vec w| = 1.$)
Tương tự: $overrightarrow NP = overrightarrow ND + overrightarrow DD’ + overrightarrow D’P $ $ = (a – 1)vec v + vec w – avec u$ nên $overrightarrow AC’ .overrightarrow NP $ $ = (vec u + vec v + vec w)[(a – 1)vec v + vec w – avec u]$ $ = – a + (a – 1) + 1 = 0.$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $AC’ bot MN$ và $AC’ bot NP.$

Ví dụ 9: Cho tam giác $ABC$ trong không gian.
a) Cho điểm $M$ thỏa: $overrightarrow AB .overrightarrow CM = overrightarrow CB .overrightarrow AM $. Chứng minh $BM$ vuông góc $AC.$
b) Gọi $AD$ là đường phân giác trong của $widehat BAC$. Hãy biểu diễn $overrightarrow AD $ theo $overrightarrow AB $, $overrightarrow AC .$

a) Ta có: $overrightarrow AB .overrightarrow CM = overrightarrow CB .overrightarrow AM $ $ Leftrightarrow overrightarrow AB .(overrightarrow AM – overrightarrow AC ) = overrightarrow CB .overrightarrow AM $ $ Leftrightarrow overrightarrow AB .overrightarrow AM – overrightarrow AB .overrightarrow AC – overrightarrow AM .overrightarrow CB = vec 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow AM (overrightarrow AB + overrightarrow BC ) – overrightarrow AB .overrightarrow AC = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow AM .overrightarrow AC – overrightarrow AB .overrightarrow AC = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow AC (overrightarrow AM – overrightarrow AB ) = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow AC .overrightarrow BM = 0$ $ Leftrightarrow AC bot BM.$
b) Gọi $AB = c$, $AC = b$, $BC = a.$
Do tính chất chân đường phân giác trong nên: $frac{DB}{DC} = frac{AB}{AC} Leftrightarrow DB = fraccbDC.$
Mà $D$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $overrightarrow DB = – fraccboverrightarrow DC $ $ Leftrightarrow overrightarrow AB – overrightarrow AD = – fraccb(overrightarrow AC – overrightarrow AD )$ $ Leftrightarrow overrightarrow AB + fraccboverrightarrow AC $ $ = left( 1 + frac{cb} right)overrightarrow AD $ $ = frac{b + c}boverrightarrow AD $ $ Leftrightarrow overrightarrow AD = fracb{b + c}overrightarrow AB + fracc{b + c}overrightarrow AC .$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.