Tính thể tích khối hộp

Tổng hợp bài KHODETHI Kiến thức Hình học không gian xin thu thập lại quý bạn đọc về Tính thể tích khối hộp, thông tin được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Bài viết trình bày công thức tính thể tích khối hộp và một số ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
Hình hộp: là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành.
Hình hộp có $6$ mặt là hình bình hành, $4$ đường chéo đồng qui tại tâm hình hộp.
Thể tích của khối hộp bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối hộp đó.
Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng và có đáy là hình chữ nhật.
Gọi $a$, $b$, $c$ là $3$ kích thước thì có đường chéo: $d = sqrt {a^2 + b^2 + c^2} $, diện tích toàn phần: $S = 2(ab + bc + ca)$ và thể tích khối hộp chữ nhật: $V = abc.$
Hình lập phương: là hình hộp chữ nhật có $3$ kích thước bằng nhau.
Gọi $a$ là cạnh hình lập phương thì có đường chéo: $d = asqrt 3 $, diện tích toàn phần: $S = 6a^2$ và thể tích khối lập phương: $V = a^3.$

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Nội dung bài 1: Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$, biết rằng $AA’B’D’$ là khối tứ diện đều cạnh $a.$

Vì $AA’B’D’$ là tứ diện đều nên đường cao $AH$ của nó có hình chiếu $H$ là tâm của tam giác đều $A’B’D’.$
Suy ra: $A’H = frac{asqrt 3 }3$, $AH = sqrt AA{‘^2 – A’H^2} = frac{asqrt 6 }3.$
Ta có đáy $A’B’C’D’$ là hình thoi có góc $B’A’D’$ bằng $60°$ nên:
$S_{A’B’C’D’} = A’B’.A’D’sin 60^0 = frac{{a^2sqrt 3 }}2.$
Vậy thể tích khối hộp đã cho là: $V = S.h = frac{{a^2sqrt 3 }}2 cdot frac{asqrt 6 }3 = frac{{a^3sqrt 2 }}2.$

Bài tập 2: Cho khối hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng $a$, $widehat {A_1AB} = widehat BAD = widehat {A_1AD} = alpha $ $left( {0^0 < alpha < {90^0}} right)$. Hãy tính thể tích của khối hộp.

Hạ $A_1H bot AC$ $(H in AC).$
Tam giác $A_1BD$ cân (do $A_1B = A_1D$).
Suy ra $BD bot A_1O.$
Mặt khác $BD bot AC.$
Suy ra: $BD bot left( {A_1AO} right)$ $ Rightarrow BD bot A_1H.$
Do đó $A_1H bot (ABCD).$
Đặt $widehat {A_1AD} = varphi .$
Hạ $A_1K bot AD$ $ Rightarrow HK bot AK$.
Ta có: $cos varphi .cos fracalpha 2 = frac{AH}{A{A_1}} cdot frac{AK}{AH} = frac{AK}{A{A_1}}$ $ = cos varphi $ nên $cos varphi = frac{cos alpha }{cos frac{alpha 2}}.$
Do đó: $A_1H = asin varphi $ $ = asqrt 1 – frac{{{{cos ^2}alpha }}{{{cos ^2}fracalpha 2}}} $ $ = fraca{cos frac{alpha 2}}sqrt {{cos ^2}fracalpha 2 – {cos ^2}alpha } .$
$V_{ABCD.{A_1B_1C_1D_1}} = AB.AD.sin alpha .A_1H$ $ = a^2sin alpha .fraca{cos frac{alpha 2}}sqrt {{cos ^2}fracalpha 2 – {cos ^2}alpha } $ $ = 2a^3sin fracalpha 2sqrt {{cos ^2}fracalpha 2 – {cos ^2}alpha } .$

Bài 3: Cho khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình chữ nhật với $AB = sqrt 3 $, $AD = sqrt 7 $ và các cạnh bên bằng $1.$ Hai mặt bên $(ABB’A’)$ và $(ADD’A’)$ lần lượt tạo với đáy Mọi góc $45°$ và $60°.$ Hãy tính thể tích khối hộp.

Hạ $A’H bot (ABCD)$, $HM bot AD$, $HK bot AB.$
Ta có: $AD bot A’M$, $AB bot A’K.$
$ Rightarrow widehat A’MH = 60^0$, $widehat A’KH = 45^0.$
Đặt $A’H = x.$
Khi đó:
$A’M = x:sin 60^0 = frac{2x}{sqrt 3 }.$
$AM = sqrt AA{‘^2 – A’M^2} $ $ = sqrt frac{{3 – 4{x^2}}3} = HK.$
Mà $HK = xcot 45^0 = x$ nên $x = sqrt frac{{3 – 4{x^2}}3} Rightarrow x = sqrt frac{37} .$
Vậy $V_{ABCD.A’B’C’D’} = AD.AB.x = sqrt 7 .sqrt 3 .sqrt frac{37} = 3.$

Nội dung bài 4: Cho khối lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $A_1D$ bằng $2$ và độ dài đường chéo của mặt bên bằng $5.$
a) Hạ $AK bot A_1D$ $left( K in {A_1D} right).$ Chứng minh rằng: $AK = 2.$
b) Tính thể tích khối lăng trụ $ABCD.A_1B_1C_1D_1.$

a) $AB//A_1B_1$ $ Rightarrow AB//left( {A_1B_1D} right).$
$ Rightarrow dleft( A,left( {{A_1B_1D} right)} right) = dleft( AB,{A_1D} right).$
Ta có: $A_1B_1 bot left( A{A_1D_1D} right)$ $ Rightarrow A_1B_1 bot AK.$
Mặt khác: $A_1D bot AK$ $ Rightarrow AK bot left( {A_1B_1D} right).$
Vậy $AK = dleft( A,left( {{A_1B_1D} right)} right) = dleft( AB,{A_1D} right) = 2.$
b) Xét tam giác vuông $A_1AD$, ta có: $AK^2 = A_1K.KD.$
Đặt $A_1K = x Rightarrow 4 = x(5 – x)$ $ Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 0$ $ Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 4.$
Với $x = 1$, $AD = sqrt A{K^2 + KD^2} = 2sqrt 5 $, $AA_1 = sqrt {A_1D^2 – AD^2} = sqrt 5 .$
Khi đó $V_{ABCD.{A_1B_1C_1D_1}} = 20sqrt 5 .$
Với $x = 4$, tương tự ta có: $V_{ABCD.{A_1B_1C_1D_1}} = 10sqrt 5 .$

Bài tập 5: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh đều bằng $d$ và ba góc của đỉnh $A$ đều bằng $60°.$
a) Tính độ dài các đường chéo và thể tích $V$ của hình hộp.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt song song của hình hộp.
c) Có thể cắt hình hộp bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện nhận được là một hình vuông?

a) Đặt $overrightarrow AA’ = vec a$, $overrightarrow AB = vec b$, $overrightarrow AD = vec c$ thì $vec a.vec b = vec b.vec c = vec c.vec a = frac{{d^2}}2.$
Ta có: $overrightarrow AC{‘^2} = (vec a + vec b + vec c)^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 + 2vec a.vec b + 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 6d^2.$
Suy ra: $AC’ = dsqrt 6 .$
Ta có: $overrightarrow {BD’ ^2} = (overrightarrow a – overrightarrow b + overrightarrow c )^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 – 2vec a.vec b – 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 2d^2.$
Suy ra: $BD’ = dsqrt 2 .$
Tương tự $DB’ = CA’ = dsqrt 2 $ nên ta có $AA’BD$ là hình tứ diện đều cạnh $d$, nên: $V_{left( {AA’BD right)}} = frac{{d^3sqrt 2 }}{12}.$
Do đó $V = 6V_{AA’BD} = frac{{d^3sqrt 2 }}{12}.$
b) Gọi $h$ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABCD)$ và $(A’B’C’D’)$ thì:
$V = S_{ABCD}.h = frac{{d^2sqrt 3 }}2$ $ Rightarrow h = frac{dsqrt 6 }2.$
Tương tự thì các khoảng cách giữa hai mặt song song nào cũng bằng $frac{dsqrt 6 }2.$
c) Hình bình hành $BCD’A’$ có các cạnh bằng $d$ và hai đường chéo bằng $dsqrt 2 $ nên nó là hình vuông.
Vậy hình hộp có thiết diện $BCD’A’$ là hình vuông.
Tương tự thiết diện $CDA’B’$ cũng là hình vuông.

Nội dung bài 6: Cho hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $asqrt 3 $, $A$ cách đều $A$, $B$, $C$, $D.$ Biết rằng khoảng cách từ trọng tâm $G$ của tam giác $AB’D’$ đến mặt phẳng $(AA’D’)$ bằng $fraca2.$ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ tâm $O$ của hình vuông $A’B’C’D’$ đến mặt phẳng $(ADC’B’).$

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $AB’D’$ nên $G$ nằm trên đoạn thẳng $AO$ và $AG = frac23AO.$
Ta có: $dleft( O;left( {AA’D right)} right) = frac32d(G,(AA’D)) = frac{3a}4.$
Gọi $M$ là trung điểm của $A’D’.$
Hạ $OH bot AM$ thì $OH bot left( AA’D’ right).$
Do đó $OH = dleft( O;left( {AA’D’ right)} right) = frac{3a}4.$
Tam giác $AOM$ vuông tại $O:$
$frac1{O{H^2}} = frac1{O{A^2}} + frac1{O{M^2}}$ $ Leftrightarrow frac{16}{9{a^2}} = frac1{O{A^2}} + frac4{3{a^2}}$ $ Rightarrow OA = frac{3a}2.$
Vậy $V_{ABCD.A’B’C’D’} = S_{ABCD}.OA = 3a^2.frac{3a}2 = frac{9{a^3}}2.$
Gọi $N$ là trung điểm của $B’C’.$ Hạ $OK bot AN.$
Ta có $OK bot left( ADC’B’ right)$ nên $OK = dleft( O,left( {ADC’B’ right)} right).$
Tam giác $AON$ vuông tại $O:$
$frac1{O{K^2}} = frac1{O{A^2}} + frac1{O{N^2}}$ $ = frac4{9{a^2}} + frac4{3{a^2}} = frac{16}{9{a^2}}$ $ Rightarrow OK = frac{3a}4.$
Vậy khoảng cách từ tâm $O$ của hình vuông $A’B’C’D’$ đến mặt phẳng $(ADC’B’)$ là $OK = frac{3a}4.$

Nội dung bài 7: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình chữ nhật. $AB = asqrt 3 $, $AA’ = AC = 2asqrt 3 .$ Hình chiếu của $B$ lên mặt phẳng $(A’B’C’D’)$ là trung điểm $O$ của $B’D’.$ Tính thể tích khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ và cosin của góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $BB’.$

Ta có $O$ là tâm của hình chữ nhật $A’B’C’D’$ nên $BO bot left( A’B’C’D’ right).$
Tam giác vuông $ABC:$
$BC = sqrt A{C^2 – AB^2} $ $ = sqrt 12{a^2 – 3a^2} = 3a.$
Tam giác vuông $BOB’$ ta có:
$BO = sqrt BB{‘^2 – B’O^2} $ $ = sqrt BB{‘^2 – frac{A{C^2}}4} $ $ = sqrt 12{a^2 – 3a^2} = 3a.$
Nên $V_{ABCD.A’B’C’D’} = S_{ABCD}.BO = AB.BC.BO$ $ = asqrt 3 .3a.3a = 9a^3sqrt 3 .$
Ta có $cos left( AC,BB’ right) = cos left( A’C’,AA’ right) = left| cos widehat {AA’O} right|.$
Vì $BO bot (ABCD) Rightarrow BO bot AB.$
Tam giác $ABO$ vuông cân tại $B:$ $AO = sqrt A{B^2 + BO^2} $ $ = sqrt 3{a^2 + 9a^2} = 2asqrt 3 .$
Áp dụng định lý cosin trong tam giác $AA’O$ ta có:
$cos widehat AA’O = frac{A'{A^2 + A’O^2 – AO^2}}{2A’A.A’O}$ $ = frac{12{a^2 + 3a^2 – 12a^2}}{2.2asqrt 3 .asqrt 3 } = frac14.$
Vậy $cos left( AC,BB’ right) = frac14.$

Nội dung bài 8: Cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình bình hành, $AB = 2a$, $BC = a$, $widehat BAD = 60^0$, góc giữa đường thẳng $B’C$ và mặt phẳng $(ACC’A’)$ bằng $30°.$ Tính thể tích khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$, $DD’$ với $M$ là trung điểm của $CC’.$

Hạ $BH bot A’C’$ thì có $BH bot left( ACC’A’ right).$
Từ đó suy ra góc giữa $B’C$ và mặt phẳng $left( ACC’A’ right)$ bằng $widehat B’CH.$
Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$ ta có:
$AC^2 = BC^2 + BA^2 – 2.BC.BAcos 120^0$ $ = a^2 + 4a^2 – 2a.2aleft( – frac{12} right) = 7a^2.$
Suy ra $AC = asqrt 7 .$
Ta có: $B’H = frac{2{S_{A’B’C’}}}{A’C’} = frac{B’A’.B’C’.sin {{120^0}}}{A’C’}$ $ = frac{a.2a.frac{{sqrt 3 }2}}{asqrt 7 } = frac{asqrt {21 }}7.$
Tam giác vuông $B’CH:$ $B’C = frac{B’H}{sin {{30^0}}} = frac{2asqrt {21 }}7.$
Tam giác vuông $BB’C:$ $BB’ = sqrt B'{C^2 – BC^2} $ $ = sqrt frac{{84{a^2}}{49} – a^2} = frac{asqrt {35 }}7.$
Nên: $V_{ABCD.A’B’C’D’} = AB.ADsin 60^0.AA’$ $ = 2a.a.frac{sqrt 3 }2.frac{asqrt {35 }}7 = frac{{a^3.sqrt 105 }}7.$
Ta có $AM$ song song với $(ACC’A’).$
Do đó $dleft( DD’,AM right)$ $ = dleft( DD’,left( {ACC’A’ right)} right)$ $ = dleft( D’,left( {ACC’A’ right)} right)$ $ = dleft( B’,left( {ACC’A’ right)} right)$ $ = B’H = frac{asqrt {21 }}7.$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.