Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Những bài tập mà Kho_đề_thi Kiến thức Hình học không gian xin tổng hợp lại quý bạn đọc về Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, bài được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Phương pháp
+ Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.
+ Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng, nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.
+ Về dạng toán này, điểm chung thứ nhất thường dễ tìm, điểm chung còn lại ta phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời cùng thuộc một mặt phẳng thứ ba mà chúng không song song với nhau, giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABCD)$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD).$
b) Mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(SCD).$
c) Mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC).$

tim-giao-tuyen-cua-hai-mat-phang-1

a) Ta có: $S in left( SAC right) cap left( SBD right)$ $(1).$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $O = AC cap BD.$
Vì $left begin{arrayl
O in AC,AC subset left( SAC right)\
O in BD,BD subset left( SBD right)
endarray right.$ $ Rightarrow O in left( SAC right) cap left( SBD right)$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( SAC right) cap left( SBD right) = SO.$
b) Ta có: $S in left( SAB right) cap left( SCD right)$ $(3).$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $E = AB cap CD.$
Vì: $left begin{arrayl
E in AB,AB subset left( SAB right)\
E in CD,CD subset left( SCD right)
endarray right.$ $ Rightarrow E in left( SAB right) cap left( SCD right)$ $(4).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( SAB right) cap left( SCD right) = SE.$
c) Ta có: $S in left( SAD right) cap left( SBC right)$ $(5).$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $F = AD cap BC.$
Vì $left begin{arrayl
F in AD,AD subset left( SAD right)\
F in BC,BC subset left( SBC right)
endarray right.$ $ Rightarrow F in left( SAD right) cap left( SBC right)$ $(6).$
Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $left( SAD right) cap left( SBC right) = SF.$

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD, BC.$
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IBC)$ và mặt phẳng $(JAD).$
b) Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AB$, $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $M,N$ không là trung điểm. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IBC)$ và mặt phẳng $(DMN).$

tim-giao-tuyen-cua-hai-mat-phang-2

a) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(IBC)$ và $(JAD).$
Ta có:
$left begin{arrayl
I in left( IBC right)\
I in AD,AD subset left( JAD right)
endarray right.$ $ Rightarrow I in left( IBC right) cap left( JAD right)$ $(1).$
$left begin{arrayl
J in left( JAD right)\
J in BC,BC subset left( IBC right)
endarray right.$ $ Rightarrow J in left( IBC right) cap left( JAD right)$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( IBC right) cap left( JAD right) = IJ.$
b) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(IBC)$ và $(DMN)$.
Trong mặt phẳng $(ABD)$ gọi $E = BI cap DM.$
Vì $left begin{arrayl
E in BI,BI subset left( IBC right)\
E in DM,DM subset left( DMN right)
endarray right.$ $ Rightarrow E in left( IBC right) cap left( DMN right)$ $(3).$
Trong mặt phẳng $(ACD)$ gọi $F = CI cap DN.$
Vì $left begin{arrayl
F in CI,CI subset left( IBC right)\
F in DN,DN subset left( DMN right)
endarray right.$ $ Rightarrow F in left( IBC right) cap left( DMN right)$ $(4).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( IBC right) cap left( DMN right) = EF.$

Ví dụ 3: Cho tứ diện $ABCD$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AB$, $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $MN$ cắt $BC$. Gọi $I$ là điểm bên trong tam giác $BCD.$ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(BCD).$
b) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ABD).$
c) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ACD).$

tim-giao-tuyen-cua-hai-mat-phang-3

a) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(BCD).$
Gọi $H = MN cap BC$ $left( MN,BC subset left( {ABC right)} right).$
Ta có:
$I in left( IMN right) cap left( BCD right)$ $(1).$
$left begin{arrayl
H in MN,MN subset left( IMN right)\
H in BC,BC subset left( BCD right)
endarray right.$ $ Rightarrow H in left( IMN right) cap left( BCD right)$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( IMN right) cap left( BCD right) = HI.$
b) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ABD).$
Trong mặt phẳng $(BCD)$, gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $HI$ với $BD$ và $CD.$
Ta có:
$left begin{arrayl
M in left( MNI right)\
M in AB subset left( ABD right)
endarray right.$ $ Rightarrow E in left( MNI right) cap left( ABD right)$ $(3).$
$left begin{arrayl
E in HI subset left( MNI right)\
E in BD subset left( ABD right)
endarray right.$ $ Rightarrow E in left( MNI right) cap left( ABD right)$ $(4).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( MNI right) cap left( ABD right) = ME.$
c) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ACD).$
Ta có:
$left begin{arrayl
N in left( MNI right)\
N in AC subset left( ACD right)
endarray right.$ $ Rightarrow N in left( MNI right) cap left( ACD right)$ $(5).$
$left begin{arrayl
F in HI subset left( MNI right)\
F in CD subset left( ACD right)
endarray right.$ $ Rightarrow F in left( MNI right) cap left( ACD right)$ $(6).$
Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $left( MNI right) cap left( ACD right) = NF.$

Ví dụ 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có $AB$ song song với $CD$. Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Lấy $M$ thuộc cạnh $SC$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD).$
b) Mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC).$
c) Mặt phẳng $(ADM)$ và mặt phẳng $(SBC).$

tim-giao-tuyen-cua-hai-mat-phang-4

a) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD).$
Ta có: $S in left( SAC right) cap left( SBD right)$ $left( 1 right).$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $H = AC cap BD$, ta có:
$left begin{arrayl
H in AC subset left( SAC right)\
H in BD subset left( SBD right)
endarray right.$ $ Rightarrow H in left( SAC right) cap left( SBD right)$ $left( 2 right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $left( SAC right) cap left( SBD right) = SH.$
b) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.
Ta có: $S in left( SAD right) cap left( SBC right)$ $left( 3 right).$
Trong mặt phẳng $left( ABCD right)$ gọi $I = AD cap BC$, ta có:
$left begin{arrayl
I in AD subset left( SAD right)\
I in BC subset left( SBC right)
endarray right.$ $ Rightarrow I in left( SAD right) cap left( SBC right)$ $(4).$
Trong $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( SAD right) cap left( SBC right) = SI.$
c) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $left( ADM right)$ và $left( SBC right).$
Ta có:
$left begin{arrayl
M in left( ADM right)\
M in SC,SC subset left( SBC right)
endarray right.$ $ Rightarrow M in left( ADM right) cap left( SBC right)$ $left( 5 right).$
$left begin{arrayl
I in AD,AD subset left( ADM right)\
I in BC,BC subset left( SBC right)
endarray right.$ $ Rightarrow I in left( ADM right) cap left( SBC right)$ $(6).$
Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $left( ADM right) cap left( SBC right) = MI.$

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CD, SA$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAB).$
b) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAD).$
c) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SBC).$
d) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SCD).$

tim-giao-tuyen-cua-hai-mat-phang-5

Gọi $F = MN cap AB$, $E = MN cap AD$ (vì $MN,AB,AD subset left( ABCD right)$).
a) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAB).$
Ta có:
$left begin{arrayl
P in left( MNP right)\
P in SA,SA subset left( SAB right)
endarray right.$ $ Rightarrow P in left( MNP right) cap left( SAB right)$ $left( 1 right).$
$left begin{arrayl
F in MN,MN subset left( MNP right)\
F in AB,AB subset left( SAB right)
endarray right.$ $ Rightarrow F in left( MNP right) cap left( SAB right)$ $left( 2 right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( MNP right) cap left( SAB right) = PF.$
b) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAD).$
Ta có:
$left begin{arrayl
P in left( MNP right)\
P in SA,SA subset left( SAD right)
endarray right.$ $ Rightarrow P in left( MNP right) cap left( SAD right)$ $left( 3 right).$
$left begin{arrayl
E in MN,MN subset left( MNP right)\
E in AD,AD subset left( SAD right)
endarray right.$ $ Rightarrow E in left( MNP right) cap left( SAD right)$ $left( 4 right).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $left( MNP right) cap left( SAD right) = PE.$
c) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SBC).$
Trong mặt phẳng $(SAB)$ gọi $K = PF cap SB$, ta có:
$left begin{arrayl
K in PF,PF subset left( MNP right)\
K in SB,SB subset left( SBC right)
endarray right.$ $ Rightarrow K in left( MNP right) cap left( SBC right)$ $left( 5 right).$
$left begin{arrayl
M in left( MNP right)\
M in BC,BC subset left( SBC right)
endarray right.$ $ Rightarrow M in left( MNP right) cap left( SBC right)$ $left( 6 right).$
Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra $left( MNP right) cap left( SBC right) = MK.$
d) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SCD).$
Gọi $H = PE cap SD$ $left( PE,SD subset left( {SAD right)} right)$, ta có:
$left begin{arrayl
H in PE,PE subset left( MNP right)\
H in SD,SD subset left( SCD right)
endarray right.$ $ Rightarrow H in left( MNP right) cap left( SCD right)$ $left( 7 right).$
$left begin{arrayl
N in left( MNP right)\
N in CD,CD subset left( SCD right)
endarray right.$ $ Rightarrow N in left( MNP right) cap left( SCD right)$ $left( 8 right).$
Từ $(7)$ và $(8)$ suy ra: $left( MNP right) cap left( SCD right) = NH.$

Ví dụ 6: Cho tứ diện $S.ABC$. Lấy $M in SB$, $N in AC$, $I in SC$ sao cho $MI$ không song song với $BC, NI$ không song song với $SA.$ Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(MNI)$ với các mặt $(ABC)$ và $(SAB).$

tim-giao-tuyen-cua-hai-mat-phang-6

a) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(MNI)$ và $(ABC).$
Vì $left begin{arrayl
N in left( MNI right)\
N in AC,AC subset left( ABC right)
endarray right.$ $ Rightarrow N in left( MNI right) cap left( ABC right)$ $(1).$
Trong mặt phẳng $(SBC)$ gọi $K = MI cap BC.$
Vì: $left begin{arrayl
K in MI subset left( MNI right)\
K in BC,BC subset left( ABC right)
endarray right.$ $ Rightarrow K in left( MNI right) cap left( ABC right)$ $left( 2 right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( MNI right) cap left( ABC right) = NK.$
b) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(MNI)$ và $(SAB).$
Gọi $J = NI cap SA$ $left( NI,SA subset left( {SAC right)} right).$
Ta có:
$left begin{arrayl
M in left( MNI right)\
M in SB,SB subset left( SAB right)
endarray right.$ $ Rightarrow M in left( MNI right) cap left( SAB right)$ $left( 3 right).$
$left begin{arrayl
J in NI subset left( MNI right)\
J in SA,SA subset left( SAB right)
endarray right.$ $ Rightarrow J in left( MNI right) cap left( SAB right)$ $left( 4 right).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( MNI right) cap left( SAB right) = MJ.$

Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD$, $M$ là một điểm nằm bên trong tam giác $ABD$, $N$ là một điểm bên trong tam giác $ACD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mặt phẳng $(AMN)$ và mặt phẳng $(BCD).$
b) Mặt phẳng $(DMN)$ và mặt phẳng $(ABC).$

tim-giao-tuyen-cua-hai-mat-phang-7

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BCD).$
Trong mặt phẳng $(ABD)$, gọi $E = AM cap BD$, ta có:
$left begin{arrayl
E in AM,AM subset left( AMN right)\
E in BD,BD subset left( BCD right)
endarray right.$ $ Rightarrow E in left( AMN right) cap left( BCD right)$ $(1).$
Trong $(ACD)$ gọi $F = AN cap CD$, ta có:
$left begin{arrayl
F in AN,AN subset left( AMN right)\
F in CD,CD subset left( BCD right)
endarray right.$ $ Rightarrow F in left( AMN right) cap left( BCD right)$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( AMN right) cap left( BCD right) = EF.$
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(DMN)$ và $(ABC).$
Trong mặt phẳng $(ABD)$, gọi $P = DM cap AB$, ta có:
$left begin{arrayl
P in DM,DM subset left( DMN right)\
P in AB,AB subset left( ABC right)
endarray right.$ $ Rightarrow P in left( DMN right) cap left( ABC right)$ $(3).$
Trong $(ACD)$, gọi $Q = DN cap AC$, ta có:
$left begin{arrayl
Q in DN,DN subset left( DMN right)\
Q in AC,AC subset left( ABC right)
endarray right.$ $ Rightarrow Q in left( DMN right) cap left( ABC right)$ $left( 4 right).$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( DMN right) cap left( ABC right) = PQ.$

Ví dụ 8: Cho tứ diện $ABCD$. Lấy $I in AB$, $J$ là điểm trong tam giác $BCD$, $K$ là điểm trong tam giác $ACD$. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(IJK)$ với các mặt của tứ diện.

tim-giao-tuyen-cua-hai-mat-phang-8

Gọi:
$M = DK cap AC$ $left( DK,AC subset left( {ACD right)} right).$
$N = DJ cap BC$ $left( DJ,BC subset left( {BCD right)} right).$
$H = MN cap KJ$ $left( MN,KJ subset left( {DMN right)} right).$
Vì $H in MN$, $MN subset left( ABC right)$ $ Rightarrow H in left( ABC right).$
Gọi:
$P = HI cap BC$ $left( HI,BC subset left( {ABC right)} right).$
$Q = PJ cap CD$ $left( PJ,CD subset left( {BCD right)} right).$
$T = QK cap AD$ $left( QK,AD subset left( {ACD right)} right).$
Theo cách dựng điểm ở trên, ta có:
$left( IJK right) cap left( ABC right) = IP.$
$left( IJK right) cap left( BCD right) = PQ.$
$left( IJK right) cap left( ACD right) = QT.$
$left( IJK right) cap left( ABD right) = TI.$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.