Phương pháp viết phương trình đường thẳng (Oxyz)

Những bài tập mà KHODETHI Kiến thức Tọa độ không gian Oxyz xin tổng hợp lại quý bạn đọc về Phương pháp viết phương trình đường thẳng (Oxyz), dữ liệu được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Bài viết hướng dẫn phương pháp viết phương trình đường thẳng trong hệ trục tọa độ không gian $Oxyz.$ Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu phương pháp tọa độ trong không gian được chia sẻ trên KHODETHI.ORG.

A. PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (OXYZ)
Dạng toán 1: $d$ đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và có VTCP $veca=({a_1};{a_2};{a_3})$ → $(d):left begin{arrayl
x = x_o + a_1t\
y = y_o + a_2t\
z = z_o + a_3t
endarray right.$ $(t in R).$

Dạng toán 2: $d$ đi qua hai điểm $A$, $B$ → Một VTCP của $d$ là $overrightarrowAB.$

Dạng toán 3: $d$ đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và song song với đường thẳng $Delta $ cho trước → Vì $dparallel Delta $ nên VTCP của $Delta $ cũng là VTCP của $d.$

Dạng toán 4: $d$ đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và vuông góc với mặt phẳng $left( P right)$ cho trước → Vì $dbot left( P right)$ nên VTPT của $left( P right)$ cũng là VTCP của $d.$

Dạng toán 5: $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $left( P right)$, $left( Q right)$:
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP:
+ Tìm toạ độ một điểm $Ain d$ bằng cách giải hệ phương trình $left begin{align
& (P) \
& (Q) \
endalign right.$ (với việc chọn giá trị cho một ẩn).
+ Tìm một VTCP của $d$: $veca=left[ {{vec{n}}_P},{{vec{n}}_Q} right].$
Cách 2: Tìm hai điểm $A$, $B$ thuộc $d$ rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Dạng toán 6: $d$ đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và vuông góc với hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ → Vì $dbot {d_1}$, $dbot {d_2}$ nên một VTCP của $d$ là: $veca=left[ {{vec{a}}_{{d_1}}},{{vec{a}}_{{d_2}}} right].$

Dạng toán 7: $d$ đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$, vuông góc và cắt đường thẳng $Delta .$
Cách 1: Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của ${M_0}$ trên đường thẳng $Delta .$
$left begin{arrayl
H in Delta \
overrightarrow {M_0H} bot {vec u_Delta }
endarray right. .$
Khi đó đường thẳng $d$ là đường thẳng đi qua ${M_0}$, $H.$
Cách 2: Gọi $left( P right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$, $left( Q right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Khi đó $d=left( P right) cap left( Q right).$

Dạng toán 8: $d$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và cắt hai đường thẳng $d_1$, $d_2$:
Cách 1: Gọi $M_1 in d_1$, $M_2 in d_2.$ Từ điều kiện $M$, $M_1$, $M_2$ thẳng hàng ta tìm được $M_1$, $M_2.$ Từ đó suy ra phương trình đường thẳng $d.$
Cách 2: Gọi $left( P right) = (M_0,d_1)$, $left( Q right) = (M_0,d_2).$ Khi đó $d = (P) cap (Q)$, do đó một VTCP của $d$ có thể chọn là $vec a = left[ {{vec n_P},{vec n_Q}} right].$

Dạng toán 9: $d$ nằm trong mặt phẳng $left( P right)$ và cắt cả hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ → Tìm các giao điểm $A = d_1 cap left( P right)$, $B = d_2 cap left( P right).$ Khi đó $d$ chính là đường thẳng $AB.$

Dạng toán 10: $d$ song song với $Delta $ và cắt cả hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ → Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ chứa $Delta $ và $d_1$, mặt phẳng $left( Q right)$ chứa $Delta $ và $d_2.$ Khi đó $d = (P) cap (Q).$

Dạng toán 11: $d$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ chéo nhau:
Cách 1: Gọi $M in d_1$, $N in d_2.$ Từ điều kiện $left begin{arrayl
MN bot d_1\
MN bot d_2
endarray right.$ ta tìm được $M$, $N.$ Khi đó $d$ là đường thẳng $MN.$
Cách 2:
– Vì $d bot d_1$ và $d bot d_2$ nên một VTCP của $d$ có thể là: $vec a = left[ {{vec a_{d_1}},{vec a_{d_2}}} right].$
– Lập phương trình mặt phẳng $left( P right)$ chứa $d$ và $d_1$ bằng cách:
+ Lấy một điểm $A$ trên $d_1.$
+ Một VTPT của $left( P right)$ có thể là: $vec n_P = left[ vec a,{{vec a_{d_1}}} right].$
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ chứa $d$ và $d_1.$ Khi đó $d = (P) cap (Q).$

Dạng toán 12: $d$ là hình chiếu của đường thẳng $Delta $ lên mặt phẳng $left( P right)$:
Lập phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ chứa $Delta $ và vuông góc với mặt phẳng $left( P right)$ bằng cách:
+ Lấy $M in Delta .$
+ Vì $left( Q right)$ chứa $Delta $ và vuông góc với $Delta $ nên $vec n_Q = left[ {{vec a_Delta },{vec n_P}} right].$
Khi đó $d = (P) cap (Q).$

Dạng toán 13: $d$ đi qua điểm $M$, vuông góc với $d_1$ và cắt $d_2$:
Cách 1: Gọi $N$ là giao điểm của $d$ và $d_2.$ Điều kiện $MN bot d_1$, ta tìm được $N.$ Khi đó $d$ là đường thẳng $M$, $N.$
Cách 2:
+ Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ qua $M$ và vuông góc với ${d_1}.$
+ Viết phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ chứa M và ${d_2}.$
Khi đó $d = (P) cap (Q).$

B. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (OXYZ)
Nội dung bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$ và đường thẳng $d:fracx+12=fracy1=fracz-3-2.$ Viết phương trình đường thẳng $Delta $ đi qua điểm $A$, vuông góc với đường thẳng $d$ và cắt trục $Ox.$

Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $Delta $ với $Ox.$
Suy ra $M(m;0;0)$ $Rightarrow overrightarrowAM=(m-1;-2;-3)$, đường thẳng $d$ có $overrightarrowa=(2;1;-2)$ là VTCP.
Vì $AMbot d$ $Rightarrow overrightarrowAM.overrightarrowa=0$ $Leftrightarrow m=-1$ $Rightarrow overrightarrowAM=(-2;-2;-3).$
Vậy phương trình đường thẳng $Delta $ là: $fracx-12=fracy-22=fracz-33.$

Nội dung bài 2: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta $, biết $Delta $ đi qua $Mleft( 1;0;-1 right)$ và vuông góc với hai đường thẳng ${d_1}:fracx-5=fracy+28=fracz-13$, ${d_2}:left begin{align
& x=t \
& y=-1-2t \
& z=0 \
endalign right. .$

Ta có: ${d_1}$ có $overrightarrow{{u_1}}=(5;-8;-3)$ là VTCP, ${d_2}$ có $overrightarrow{{u_2}}=(1;-2;0)$ là VTCP.
Cách 1: Giả sử $overrightarrowu=(a;b;c)$ là một VTCP của $Delta.$
Vì $Delta $ vuông góc với ${d_1}$ và ${d_2}$ nên: $left begin{arrayl
overrightarrow u .overrightarrow {u_1} = 0\
overrightarrow u .overrightarrow {u_2} = 0
endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
5a – 8b – 3c = 0\
a – 2b = 0
endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
a = 2b\
c = frac23b
endarray right.$ $ Rightarrow overrightarrow u = fracb3.(6;3;2).$
Phương trình $Delta $ là: $left begin{arrayl
x = 1 + 6t\
y = 3t\
z = – 1 + 2t
endarray right.$, $t in R.$
Cách 2: Vì $Delta bot {d_1}$, $Delta bot {d_2}$ nên $overrightarrowu=left[ overrightarrow{{u_1}},overrightarrow{{u_2}} right]=left( -6;-3;-2 right)$ là một VTCP của $Delta .$
Suy ra phương trình $Delta $ là: $left begin{arrayl
x = 1 – 6t\
y = – 3t\
z = – 1 – 2t
endarray right.$, $t in R.$

Nội dung bài 3: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta $, biết:
1. $Delta $ đi qua $Aleft( 1;2;1 right)$ đồng thời $Delta $ cắt đường thẳng ${d_1}:left begin{align
& x=1+t \
& y=2-t \
& z=t \
endalign right.$ và vuông góc với đường thẳng ${d_2}:fracx+12=fracy-11=fracz+3-2 .$
2. $Delta $ đi qua $B(9;0;-1)$, đồng thời $Delta $ cắt hai đường thẳng ${Delta _1}:fracx-12=fracy-3-1=fracz+11$, ${Delta _2}:fracx+2-1=fracy-31=fracz-4-3.$

1. Cách 1: Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và ${d_1}$, khi đó ta có $Delta subset (P).$
Ta có đường thẳng ${d_1}$ đi qua $M(1;2;0)$ và có $overrightarrow{{u_1}}=left( 1;-1;1 right)$ là VTCP.
Nên $overrightarrown=left[ overrightarrowAM,overrightarrow{{u_1}} right]=left( -1;-1;0 right)$ là VTPT của $(P).$
Vì $left begin{align
& Delta subset (P) \
& Delta bot {d_2} \
endalign right.$, suy ra $overrightarrowu=left[ overrightarrown,overrightarrow{{u_2}} right]=left( 2;-2;1 right)$ là VTCP của $Delta $ (trong đó $overrightarrow{{u_2}}=left( 2;1;-3 right)$ là VTCP của đường thẳng ${d_2}$).
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta $ là: $fracx-12=fracy-2-2=fracz-11.$
Cách 2: Gọi $E=Delta cap {d_1}$, suy ra $Eleft( 1+t;2-t;t right)$ nên $overrightarrowAE=left( t;-t;t-1 right).$
Vì $Delta bot {d_2}$ $Rightarrow overrightarrowAE.overrightarrow{{u_2}}=0$ $Leftrightarrow 2t-t-2(t-1)=0$ $Leftrightarrow t=2$ $Rightarrow overrightarrowAE=(2;-2;1).$
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta $ là: $fracx-12=fracy-2-2=fracz-11.$
2. Đường thẳng ${Delta _1}$ đi qua $C(1;3;-1)$ và có $overrightarrow{{v_1}}=left( 2;-1;1 right)$ là VTCP.
Đường thẳng ${Delta _2}$ đi qua $D(-2;3;4)$ và có $overrightarrow{{v_2}}=left( -1;1;-3 right)$ là VTCP.
Gọi $(alpha )$ là mặt phẳng đi qua $B$ và ${Delta _1}$, suy ra $Delta subset (alpha )$ và $overrightarrow{{n_1}}=left[ overrightarrow{{v_1}},overrightarrowBC right]=left( -3;-8;-2 right)$ là VTPT của $(alpha ).$
Gọi $(beta )$ là mặt phẳng đi qua $B$ và ${Delta _2}$, suy ra $Delta subset (beta )$ và $overrightarrow{{n_2}}=left[ overrightarrow{{v_2}},overrightarrowBD right]=left( 14;38;8 right)$ là VTPT của $(beta ).$
Ta có $Delta $ là giao tuyến của $(alpha )$ và $(beta )$ nên $overrightarrowa=left[ overrightarrow{{n_1}},overrightarrow{{n_2}} right]=(12;-4;-2)$ là VTCP.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta $ là:
$fracx-96=fracy-2=fracz+1-1.$

Bài tập 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng $Delta $, biết:
1. $Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(alpha ):x+y+z-3=0$ và $(beta ):2y-z-1=0.$
2. $Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(alpha ):x+y-z+3=0$ và $(beta ):2x-y+5z-4=0.$
3. $Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d:fracx-11=fracy-22=fracz-1$ lên mặt phẳng $(alpha ):x+y+z-1=0.$

1. Để lập phương trình đường thẳng $Delta $ ta có các cách sau:
Cách 1: Ta có $overrightarrow{{n_1}}=left( 1;1;1 right)$ và $overrightarrow{{n_2}}=left( 0;2;-1 right)$ lần lượt là VTPT của $left( alpha right)$ và $(beta ).$
Do $Delta =(alpha )cap (beta )$, suy ra $overrightarrowa=left[ overrightarrow{{n_1}},overrightarrow{{n_2}} right]=left( -3;1;2 right)$ là VTCP của $Delta .$
Xét hệ phương trình $left begin{align
& x+y+z-3=0 \
& 2y-z-1=0 \
endalign right.$. Cho $y=1$ $Rightarrow x=z=1$, suy ra $M(1;1;1)in Delta .$
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $Delta $ là: $left begin{arrayl
x = 1 – 3t\
y = 1 + t\
z = 1 + 2t
endarray right.$, $t in R.$
Cách 2: Xét $N(x;y;z)in Delta $ $Leftrightarrow Nin (alpha )cap (beta )$ $Leftrightarrow left begin{align
& x+y+z-3=0 \
& 2y-z-1=0 \
endalign right. .$
Đặt $y=t$, ta có: $left begin{align
& x=4-3t \
& y=t \
& z=-1+2t \
endalign right.$, $tin R$, đây chính là phương trình tham số của $Delta .$
Cách 3: Trong hệ phương trình trên cho $y=0$ $Rightarrow z=-1$, $x=4.$ Do đó điểm $E(4;0;-1)in Delta .$
Hay $Delta equiv ME$, từ đó ta lập được phương trình tham số của $Delta $ là: $left begin{align
& x=4-3t \
& y=t \
& z=-1+2t \
endalign right.$, $tin R.$
2. Để lập phương trình đường thẳng $Delta $ ta có các cách sau:
Cách 1: Ta có $A(-1;-1;1)$, $B(-5;6;4)$ là hai điểm chung của $(alpha )$ và $(beta ).$
$Rightarrow A,Bin d$ $Rightarrow overrightarrowAB=(-4;7;3)$ là một VTCP của $d.$
Phương trình tham số của $d:left begin{align
& x=-1-4t \
& y=-1+7t \
& z=1+3t \
endalign right.$, $tin R.$
Phương trình chính tắc của $d:fracx+1-4=fracy+17=fracz-13.$
Cách 2: Ta có $overrightarrow{{n_1}}=(1;1;-1)$, $overrightarrow{{n_2}}=(2;-1;5)$ lần lượt là VTPT của $(alpha )$, $(beta ).$
Vì $d$ là giao tuyến của $(alpha )$ và $(beta )$ nên $overrightarrowu=left[ overrightarrow{{n_1}},overrightarrow{{n_2}} right]=(4;-7;-3).$
Từ đó ta lập được phương trình của đường thẳng $d.$
$M(x;y;z)in d$ $Leftrightarrow left begin{align
& Min (alpha ) \
& Min (beta ) \
endalign right.$ $Leftrightarrow left begin{align
& x+y-z+3=0 \
& 2x-y+5z-4=0 \
endalign right. .$
Đặt $z=t$ ta được: $left begin{align
& x+y=-3+t \
& 2x-y=4-5t \
endalign right.$ $Leftrightarrow left begin{align
& x=frac13-frac43t \
& y=-frac103+frac73t \
endalign right. .$
Phương trình tham số của $d:left begin{arrayl
x = frac13 – frac43t\
y = – frac{10}3 + frac73t\
z = t
endarray right.$, $t in R.$
3. Để lập phương trình đường thẳng $Delta $ ta có các cách sau:
Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;2;0)$ và có $overrightarrowv=(1;2;-1)$ là VTCP.
Mặt phẳng $(alpha )$ có $overrightarrown=left( 1;1;1 right)$ là VTPT.
Xét hệ phương trình $left begin{align
& fracx-11=fracy-22=fracz-1 \
& x+y+z-1=0 \
endalign right.$, giải hệ này ta được $x=0$, $y=0$, $z=1$, suy ra $d$ và $(alpha )$ cắt nhau tại $I(0;0;1)$ và $Iin Delta .$
Cách 1: Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $d$ và vuông góc với $(alpha ).$
Ta có $overrightarrow{{n_1}}=left[ overrightarrowv,overrightarrown right]=(3;-2;-1)$ là VTPT của $(P).$
Vì $Delta =(alpha )cap (P)$ nên $overrightarrowu=left[ overrightarrown,overrightarrow{{n_1}} right]=left( -1;-4;5 right)$ là VTCP của $Delta .$
Vậy phương trình của đường thẳng $Delta $ là: $fracx-1=fracy-4=fracz-15.$
Cách 2: Gọi $N$ là hình chiếu của $M$ lên $(alpha )$, vì $MNbot (alpha )$ nên $overrightarrown=(1;1;1)$ là VTCP của $MN$, suy ra phương trình $MN:fracx-11=fracy-21=fracz1.$
Do $N=MNcap (alpha )$ nên tọa độ của $N$ là nghiệm của hệ: $left begin{align
& fracx-11=fracy-21=fracz1 \
& x+y+z-1=0 \
endalign right. .$
Giải hệ này ta tìm được: $x=frac13$, $y=frac43$, $z=-frac23$ $Rightarrow Nleft( frac13;frac43;-frac23 right).$
Khi đó đường thẳng $Delta equiv IN$, từ đó ta lập được phương trình $Delta $: $fracx-1=fracy-4=fracz-15.$

Bài tập 5: Cho đường thẳng $Delta $ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $Delta :left begin{align
& x=1+2t \
& y=-1-t \
& z=2t \
endalign right.$ $(tin R)$, $(P):2x-y+2z=11=0.$
1. Tìm tọa độ điểm $H$ là hình chiếu của $A(1;-2;-5)$ trên $Delta .$
2. Tìm tọa độ điểm $A’$ sao cho $AA’=2AH$ và ba điểm $A$, $A’$, $H$ thẳng hàng.
3. Tìm tọa độ điểm $B’$ đối xứng với điểm $B(1;-1;2)$ qua $(P).$

1. Đường thẳng $Delta $ có $overrightarrow{{u_Delta }}=(2;-1;2)$ là VTCP.
Cách 1: Vì $Hin Delta $ nên $H(1+2t;-1-t;2t)$ $Rightarrow overrightarrowAH=(2t;1-t;2t+5).$
Điểm $H$ là hình chiếu của $A$ trên $Delta $ nên $overrightarrowAH.overrightarrow{{u_Delta }}=0$ hay
$2.(2t)-1.(1-t)+2(2t+5)=0$ $Leftrightarrow t=-1$ $Rightarrow H(-1;0;-2).$
Vậy điểm cần tìm là $H(-1;0;-2).$
Cách 2: Gọi $(alpha )$ là mặt phẳng qua $A(1;-2;-5)$ và vuông góc với $Delta .$
Ta có một véc tơ pháp tuyến của $(alpha )$ là $overrightarrow{{n_alpha }}=(2;-1;2)$ nên $(alpha ):2x-y+2z-6=0.$
Điểm $H$ là hình chiếu của $A$ trên $Delta $ thì $H=(P)cap Delta $ $Rightarrow H(-1;0;-2).$
Gọi $A'(x;y;z).$
Vì ba điểm $A$, $A’$, $H$ thẳng hàng và $AA’=2AH$ nên có hai trường hợp:
$bullet $ $overrightarrowA{A’}=2overrightarrowAH$, khi đó $H$ là trung điểm $AA’$ nên:
$left begin{align
& {x_A}+{x_{{A’}}}=2{x_H} \
& {y_A}+{y_{{A’}}}=2{y_H} \
& {z_A}+{z_{{A’}}}=2{z_H} \
endalign right.$ $Leftrightarrow left begin{align
& {x_{{A’}}}=2{x_H}-{x_A} \
& {y_{{A’}}}=2{y_H}-{y_A} \
& {z_{{A’}}}=2{z_H}-{z_A} \
endalign right.$ $Rightarrow left begin{align
& {x_{{A’}}}=-3 \
& {y_{{A’}}}=2 \
& {z_{{A’}}}=1 \
endalign right..$
Vậy $A'(-3;2;1).$
$bullet $ $overrightarrowA{A’}=-2overrightarrowAH$, khi đó ta có:
$left begin{align
& {x_{{A’}}}-1=-2.(-2) \
& {y_{{A’}}}+2=-2.2 \
& {z_{{A’}}}+5=-2.3 \
endalign right.$ $Leftrightarrow left begin{align
& {x_{{A’}}}=5 \
& {y_{{A’}}}=-6 \
& {z_{{A’}}}=-11 \
endalign right.$ $Rightarrow A'(5;-6;-11).$
Vậy có hai điểm thỏa mãn là $A'(-3;2;1)$ hoặc $A'(5;-6;-11).$
3. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $B(1;-1;2)$ và $dbot (P)$, khi đó một véc tơ phương của $d$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ta có $overrightarrow{{u_d}}=(2;-1;2)$ nên $d:fracx-12=fracy+1-1=fracz-22.$
Điểm $K$ là hình chiếu của $B$ trên $(P)$ thì $K=dcap (P)$, nên tọa độ $K$ là nghiệm của hệ phương trình: $left begin{align
& fracx-12=fracy+1-1=fracz-22 \
& 2x-y+2z=11=0 \
endalign right.$ $Rightarrow H(-3;1;-2).$
Điểm $B’$ đối xứng với $B$ qua $(P)$ khi $H$ là trung điểm của $BB’$ nên tọa độ điểm $B’$ cần tìm $B'(-7;3;-6).$

Nội dung bài 6: Lập phương trình các cạnh của tam giác $ABC$, biết:
1. Đỉnh $A(1;-3;2)$, phương trình hai đường trung tuyến: $BM:left begin{align
& x=2+3t \
& y=-2-3t \
& z=-1-t \
endalign right.$ $(tin mathbbR)$, $CN:left begin{align
& x=-3t’ \
& y=-1 \
& z=1+5t’ \
endalign right.$ $(t,t’in mathbbR).$
2. Đỉnh $A(1;2;7)$ và phương trình hai đường cao: $BE:fracx-32=fracy-21=fracz-5-3$, $CF:fracx-12=fracy-5-3=fracz-41.$
3. Đỉnh $A(3;2;3)$, phương trình phân giác trong góc $B$ và đường cao $CK$ là: $BD:fracx-11=fracy-4-2=fracz-31$, $CK:fracx-21=fracy-31=fracz-3-2.$

1. Tọa độ của điểm $B$ và trung điểm $N$ của $AB$ lần lượt là: $B(2+3b;-2-3b;-1-b)$, $N(-3n;-1;1+5n).$
Theo công thức tính tọa độ trung điểm, ta có: $left begin{align
& {x_A}+{x_B}=2{x_N} \
& {y_A}+{y_B}=2{y_N} \
& {z_A}+{z_B}=2{z_N} \
endalign right.$ $Leftrightarrow left begin{align
& 1+2+3b=-6n \
& -3-2-3b=-2 \
& 2-1-b=2+10n \
endalign right.$ $Leftrightarrow left begin{align
& b=-1 \
& n=0 \
endalign right. .$
Tọa độ điểm $B(-1;1;0)$ $Rightarrow overrightarrowAB(-2;4;-2)=-2(1;-2;1).$
Phương trình đường thẳng chứa cạnh $AB:fracx-11=fracy+3-2=fracz-21.$
Tương tự, ta có $M(2+3m;-2-3m;-1-m)$, $C(-3c;-1;1+5c)$ nên: $left begin{align
& {x_A}+{x_C}=2{x_M} \
& {y_A}+{y_C}=2{y_M} \
& {z_A}+{z_C}=2{z_M} \
endalign right.$ $Leftrightarrow left begin{align
& 1-3c=4+6m \
& -3-1=-4-6m \
& 2+1+5c=-2-2m \
endalign right.$ $Leftrightarrow left begin{align
& c=-1 \
& m=0 \
endalign right. .$
Tọa độ điểm $C(3;-1;-4)$ $Rightarrow overrightarrowAC(2;-2;-2)=-2(-1;1;1).$
Phương trình đường thẳng chứa cạnh $AC:fracx-1-1=fracy+31=fracz-21.$
Ta có $overrightarrowBC(4;-2;-4)=-2(-2;1:2)$ nên phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC:fracx-3-2=fracy+11=fracz+42.$
2. Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;7)$ và vuông góc với $BE$ là $2x+y-3z+17=0.$
Ta có $C=CFcap (P)$ nên tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ phương trình $left begin{align
& fracx-12=fracy-5-3=fracz-41 \
& 2x+y-3z+17=0 \
endalign right.$ $Rightarrow C(13;-13;10).$
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua $A(1;2;7)$ và vuông góc với $CF$ là $(Q):2x-3y+z-3=0.$
Ta có $B=BFcap (Q)$ nên tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ phương trình: $left begin{align
& fracx-32=fracy-21=fracz-5-3 \
& 2x-3y+z-3=0 \
endalign right.$ $Rightarrow B(5;3;2).$
Do đã biết tọa độ ba đỉnh của tam giác nên các phương trình đường thẳng chứa cạnh của tam giác $ABC$ là: $AB:left begin{align
& x=1+t \
& y=2 \
& z=5-t \
endalign right.$, $BC:left begin{align
& x=7-t \
& y=2+2t \
& z=-1 \
endalign right.$, $CA:left begin{align
& x=1 \
& y=2+2t \
& z=5-t \
endalign right..$
3. Mặt phẳng $(alpha )$ qua $A(3;2;3)$ vuông góc với $CK$ là $(alpha ):x+y-2z+1=0.$
Vì $B=(alpha )cap BD$ nên tọa độ điểm $B$ thỏa mãn hệ phương trình: $left begin{align
& x+y-2z+1=0 \
& fracx-11=fracy-4-2=fracz-31 \
endalign right.$ $Rightarrow B(1;4;3).$
Muốn tìm tọa độ điểm $C$ ta tìm điểm $A’$ đối xứng với điểm $A$ qua phân giác trong góc $B.$ Điểm $A’$ thuộc đường thẳng $BC$ nên lập được phương trình đường thẳng $BC$ và tìm được $C=BCcap CK.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$, suy ra $H(1+t;4-2t;3+t).$
Ta có $overrightarrowAH(t-2;2-2t;t)$, ${vec{u}_BD}(1;-2;1)$ nên $overrightarrowAH.{vec{u}_BD}=0$ $Leftrightarrow 1.(t-2)-2.(2-2t)+t=0$ $Leftrightarrow t=1.$
Vậy $H(2;2;4).$
Gọi $A’$ đối xứng với $A$ qua $BD$ thì $A'(1;2;5).$
Đường thẳng $BC$ là đường thẳng $BA’$ nên có phương trình là: $BC:left begin{align
& x=1 \
& y=2-t \
& z=5+t \
endalign right..$
Toa độ điểm $C$ thỏa mãn hệ $left begin{align
& {x_C}=1=2+c \
& {y_C}=2-t=3+c \
& {z_C}=5+t=3-2c \
endalign right.$ $Rightarrow C(1;2;5).$
Phương trình các đường thẳng cần tìm là $AB:left begin{align
& x=3-t \
& y=2+t \
& z=3 \
endalign right.$, $BC:left begin{align
& x=1 \
& y=2-t \
& z=5+t \
endalign right.$, $CA:left begin{align
& x=1-t \
& y=2 \
& z=5+t \
endalign right..$

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài tập 1: Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ biết:
1. $d$ đi qua $Aleft( 2;0;1 right)$ và có $overrightarrowu=(1;-1;-1)$ là VTCP.
2. $d$ đi qua $Aleft( 1;2;1 right)$ và $Bleft( -1;0;0 right).$
3. $d$ đi qua $Mleft( -2;1;0 right)$ và vuông góc với $(P):x+2y-2z+1=0.$
4. $d$ đi qua $Nleft( -1;2;-3 right)$ và song song với $Delta :fracx-12=fracy-2=frac3-z1.$
5. $d$ nằm trong $(P):x+2y-3z+4=0$ sao cho $d$ cắt và vuông góc với đường thẳng $Delta :$ $fracx+21=fracy-21=fracz-1.$

Bài tập 2: Lập phương trình của đường thẳng $Delta $ biết:
1. $Delta $ đi qua $Mleft( 1;4;-2 right)$ và song song với hai mặt phẳng $left( P right):6x+6y+2z+3=0$ và $left( Q right):3x-5y-2z-1=0.$
2. $Delta $ nằm trong $(P):y+2z=0$ và cắt hai đường thẳng ${d_1}:left begin{align
& x=1-t \
& y=t \
& z=4t \
endalign right.$, ${d_2}:left begin{align
& x=2-t’ \
& y=4+2t’ \
& z=1 \
endalign right. .$
3. $Delta $ đi qua $Mleft( -4;-5;3 right)$ và cắt hai đường thẳng ${d_1}:fracx+13=fracy+3-2=fracz-2-1$ và ${d_2}:fracx-22=fracy+13=fracz-1-5.$
4. $Delta $ đi qua $Mleft( 0;1;1 right)$, vuông góc với ${d_1}:fracx-13=fracy+21=fracz1$ và cắt đường thẳng ${d_2}:left begin{align
& x=-1 \
& y=t \
& z=1+t \
endalign right. .$

Bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng $Delta $ biết:
1. $Delta $ đi qua $A(-2;2;1)$ và cắt $Oy$ tại điểm $B$ sao cho $OB=2OA.$
2. $Delta $ đi qua $B(1;1;2)$ và cắt đường thẳng $d:fracx-21=fracy-3-2=fracz+11$ tại $C$ sao cho tam giác $OBC$ có diện tích bằng $fracsqrt{83}2.$

Bài tập 4: Cho hai đường thẳng ${Delta _1}:fracx-12=fracy+11=fracz-1$, ${Delta _2}:fracx-3-1=fracy2=fracz+11.$
1. Chứng minh rằng hai đường thẳng ${Delta _1}$ và ${Delta _2}$ cắt nhau và lập phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.
2. Tìm điểm $M$ thuộc ${Delta _1}$ có khoảng cách đến ${Delta _2}$ bằng $fracsqrt{210}3.$
3. Lập phương trình tham số các đường phân giác của các góc tọa bởi hai đường thẳng.

Hỏi và đáp