Phương pháp tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác (Phần 1)

Tổng hợp bài KHODETHI Kiến thức Nguyên hàm – Tích phân xin tổng hợp lại các sĩ tử về Phương pháp tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác (Phần 1), nội dung được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Bài viết trình bày phương pháp tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác, đây là dạng nguyên hàm thường gặp trong các đề thi THPT Quốc gia, đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng.

Phương pháp 1: Xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác bằng cách sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.
Dạng 1: Tìm nguyên hàm $I = int frac{{dx}{sin left( {x + a right)sin left( x + b right)}}} .$
Cách giải
: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức: $1 = frac{sin left( {a – b right)}}{sin left( {a – b right)}}$ $ = frac{sin left[ {left( {x + a right) – left( x + b right)} right]}}{sin left( {a – b right)}}.$
+ Bước 2: Biến đổi: $I = int frac{{dx}{sin left( {x + a right)sin left( x + b right)}}} $ $ = frac1{sin left( {a – b right)}}int frac{{sin left[ {left( {x + a right) – left( x + b right)} right]}}{sin left( {x + a right)sin left( x + b right)}}dx} $ $ = frac1{sin left( {a – b right)}}int frac{{sin left( {x + a right)cos left( x + b right) – cos left( x + a right)sin left( x + b right)}}{sin left( {x + a right)sin left( x + b right)}}dx} $ $ = frac1{sin left( {a – b right)}}left[ int {frac{{cos left( {x + b right)}}{sin left( {x + b right)}}dx} – int frac{{cos left( {x + a right)}}{sin left( {x + a right)}}dx} } right]$ $ = frac1{sin left( {a – b right)}}left[ {sin left( {x + b right)} right| – ln left| sin left( {x + a right)} right|} right] + C$ $ = frac1{sin left( {a – b right)}}ln left| frac{{sin left( {x + b right)}}{sin left( {x + a right)}}} right| + C.$

Chú ý: Phương pháp trên cũng được được áp dụng cho các dạng nguyên hàm sau:
+ Nguyên hàm $I = int frac{{dx}{cos left( {x + a right)cos left( x + b right)}}} $ bằng cách sử dụng đồng nhất thức $1 = frac{sin left( {a – b right)}}{sin left( {a – b right)}}$ $ = frac{sin left[ {left( {x + a right) – left( x + b right)} right]}}{sin left( {a – b right)}}.$
+ Nguyên hàm $I = int frac{{dx}{sin left( {x + a right)cos left( x + b right)}}} $ bằng cách sử dụng đồng nhất thức $1 = frac{cos left( {a – b right)}}{cos left( {a – b right)}}$ $ = frac{cos left[ {left( {x + a right) – left( x + b right)} right]}}{cos left( {a – b right)}}.$

Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $fleft( x right) = frac1{sin x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}}.$

Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức: $1 = frac{cos frac{pi 4}}{cos frac{pi 4}}$ $ = frac{cos left[ {left( {x + frac{pi 4} right) – x} right]}}{frac{{sqrt 2 }2}}$ $ = sqrt 2 cos left[ left( {x + frac{pi 4} right) – x} right].$
Ta được: $Fleft( x right) = sqrt 2 int frac{{cos left[ {left( {x + frac{pi 4} right) – x} right]}}{sin x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}}} $ $ = sqrt 2 int frac{{cos left( {x + frac{pi 4} right)cos x + sin left( x + frac{pi 4} right)sin x}}{sin x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}}dx} $ $ = sqrt 2 left[ int {frac{{cos x}{sin x}dx} + int frac{{sin left( {x + frac{pi 4} right)}}{cos left( {x + frac{pi 4} right)}}dx} } right]$ $ = sqrt 2 left[ ln left right| – ln left| cos left( {x + frac{pi 4} right)} right|} right] + C.$
Cách 2: Ta có:
$Fleft( x right) = sqrt 2 int frac{{dx}{sin xleft( {cos x – sin x right)}}} $ $ = sqrt 2 int frac{{dx}{{{sin ^2}xleft( cot x – 1 right)}}} $ $ = – sqrt 2 int frac{{dleft( {cot x right)}}{cot x – 1}} $ $ = – sqrt 2 int frac{{dleft( {cot x – 1 right)}}{cot x – 1}} $ $ = – sqrt 2 ln left| cot x – 1 right| + C.$

Dạng 2: Tìm nguyên hàm $I = int frac{{dx}{sin x + sin alpha }} .$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = int frac{{dx}{sin x + sin alpha }} $ $ = frac12int frac{{dx}{sin frac{{x + alpha }2cos frac{x – alpha }2}}} .$
+ Bước 2: Áp dụng dạng 1 đã trình bày ở phần trên để tìm nguyên hàm này.

Chú ý: Phương pháp trên cũng được được áp dụng cho các dạng nguyên hàm sau:
+ Nguyên hàm $I = int frac{{dx}{sin x + m}} $, với $left| m right| le 1.$
+ Nguyên hàm $I = int frac{{dx}{cos x + cos alpha }} $ và $I = int frac{{dx}{cos x + m}} $ với $left| m right| le 1.$

Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $fleft( x right) = frac1{2sin x + 1}.$

Biến đổi $fleft( x right)$ về dạng: $fleft( x right) = frac1{2left( {sin x + frac{12} right)}}$ $ = frac12.frac1{sin x + sin frac{pi 6}}$ $ = frac14.frac1{sin frac{{6x + pi }{12}.cos frac{6x – pi }{12}}}.$
Sử dụng đồng nhất thức: $1 = frac{cos frac{pi 6}}{cos frac{pi 6}}$ $ = frac{cos left( {frac{{6x + pi }{12} – frac{6x – pi }{12}} right)}}{frac{{sqrt 3 }2}}$ $ = frac2{sqrt 3 }cos left( frac{{6x + pi }{12} – frac{6x – pi }{12}} right).$
Ta được: $Fleft( x right) = frac1{2sqrt 3 }int frac{{cos left( {frac{{6x + pi }{12} – frac{6x – pi }{12}} right)}}{sin frac{{6x + pi }{12}.cos frac{6x – pi }{12}}}dx} $ $ = frac1{2sqrt 3 }int frac{{cos frac{{6x + pi }{12}.cos frac{6x – pi }{12} + sin frac{6x + pi }{12}sin frac{6x – pi }{12}}}{sin frac{{6x + pi }{12}.cos frac{6x – pi }{12}}}dx} $ $ = frac1{2sqrt 3 }left[ int {frac{{cos frac{{6x + pi }{12}}}{sin frac{{6x + pi }{12}}}dx} + int frac{{sin frac{{6x – pi }{12}}}{cos frac{{6x – pi }{12}}}dx} } right]$ $ = frac1{2sqrt 3 }left[ {sin frac{{6x + pi }{12}} right| – ln left| cos frac{{6x – pi }{12}} right|} right] + C$ $ = frac1{2sqrt 3 }ln left| frac{{sin frac{{6x + pi }{12}}}{cos frac{{6x – pi }{12}}}} right| + C.$

Dạng 3: Tìm nguyên hàm: $I = int tan x.tan left( {x + alpha right)dx} .$
Cách giải
: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = int tan x.tan left( {x + alpha right)dx} $ $ = int frac{{sin x.sin left( {x + alpha right)}}{cos x.cos left( {x + alpha right)}}dx} $ $ = int left( {frac{{cos x.cos left( {x + alpha right) + sin x.sin left( x + alpha right)}}{cos x.cos left( {x + alpha right)}} – 1} right)dx} $ $ = int frac{{cos alpha dx}{cos x.cos left( {x + alpha right)}}} – int dx $ $ = cos alpha int frac{{dx}{cos x.cos left( {x + alpha right)}} – x.} $
+ Bước 2: Áp dụng dạng 1 đã trình bày ở phần trên để giải tiếp.

Chú ý: Phương pháp trên cũng được được áp dụng cho các dạng nguyên hàm sau:
+ Nguyên hàm $I = int tan left( {x + alpha right).cot left( x + beta right)dx} .$
+ Nguyên hàm $I = int cot left( {x + alpha right).cot left( x + beta right)dx} .$

Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $fleft( x right) = tan x.tan left( x + frac{pi 4} right).$

Biến đổi $fleft( x right)$ về dạng: $fleft( x right) = frac{sin x.sin left( {x + frac{pi 4} right)}}{cos x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}}$ $ = frac{cos x.cos left( {x + frac{pi 4} right) + sin x.sin left( x + frac{pi 4} right)}}{cos x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}} – 1$ $ = frac{cos frac{pi 4}}{cos x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}} – 1$ $ = frac{sqrt 2 }2.frac1{cos x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}} – 1.$
Khi đó: $Fleft( x right) = frac{sqrt 2 }2int frac{{dx}{cos x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}}} – int dx $ $ = – x + frac{sqrt 2 }2int frac{{dx}{cos x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}}.} $
Để xác định nguyên hàm $J = frac{dx}{cos x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}}$ ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức: $1 = frac{sin frac{pi 4}}{sin frac{pi 4}} = frac{sin left[ {left( {x + frac{pi 4} right) – x} right]}}{frac{{sqrt 2 }2}}$ $ = sqrt 2 sin left[ left( {x + frac{pi 4} right) – x} right].$
Ta được: $J = sqrt 2 int frac{{sin left[ {left( {x + frac{pi 4} right) – x} right]}}{cos x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}}dx} $ $ = sqrt 2 int frac{{sin left( {x + frac{pi 4} right)cos x – cos left( x + frac{pi 4} right)sin x}}{cos x.cos left( {x + frac{pi 4} right)}}dx} $ $ = sqrt 2 left[ int {frac{{sin left( {x + frac{pi 4} right)}}{cos left( {x + frac{pi 4} right)}}dx} – int frac{{sin x}{cos x}dx} } right]$ $ = sqrt 2 left[ {cos left( {x + frac{pi 4} right)} right| + ln left| cos x right|} right] + C$ $ = sqrt 2 ln left| frac{{cos x}{cos left( {x + frac{pi 4} right)}}} right| + C$ $ = – sqrt 2 ln left| 1 – tan x right| + C.$
Cách 2: Ta có: $J = sqrt 2 int frac{{dx}{cos xleft( {cos x – sin x right)}}} $ $ = sqrt 2 int frac{{dx}{{{cos ^2}xleft( 1 – tan x right)}}} $ $ = sqrt 2 int frac{{dleft( {tan x right)}}{1 – tan x}} $ $ = – sqrt 2 int frac{{d(1 – tan x)}{1 – tan x}} $ $ = – sqrt 2 ln left| 1 – tan x right| + C.$
Vậy ta được: $Fleft( x right) = – x – ln left| 1 – tan x right| + C.$

Dạng 4: Tìm nguyên hàm: $I = int frac{{dx}{asin x + bcos x}} .$
Cách giải: Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi:
Cách 1: Ta có: $I = frac1{sqrt {{a^2 + b^2} }}int frac{{dx}{sin (x + alpha )}} $ $ = frac1{sqrt {{a^2 + b^2} }}int frac{{dx}{2sin frac{{x + alpha }2cos frac{x + alpha }2}}} $ $ = frac1{sqrt {{a^2 + b^2} }}int frac{{dx}{2tan frac{{x + alpha }2{cos ^2}frac{x + alpha }2}}} $ $ = frac1{sqrt {{a^2 + b^2} }}int frac{{dleft( {tan frac{{x + alpha }2} right)}}{tan frac{{x + alpha }2}}} $ $ = frac1{sqrt {{a^2 + b^2} }}ln left| tan frac{{x + alpha }2} right| + C.$
Cách 2: Ta có: $I = frac1{sqrt {{a^2 + b^2} }}int frac{{dx}{sin (x + alpha )}} $ $ = frac1{sqrt {{a^2 + b^2} }}int frac{{sin (x + alpha )dx}{{{sin ^2}(x + alpha )}}} $ $ = – frac1{sqrt {{a^2 + b^2} }}int frac{{dleft[ {cos (x + alpha ) right]}}{{{cos ^2}(x + alpha ) – 1}}} $ $ = – frac1{2sqrt {{a^2 + b^2} }}ln left| frac{{cos (x + alpha ) – 1}{cos (x + alpha ) + 1}} right| + C.$

Chú ý: Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hóa với việc đổi biến: $t = tan fracx2.$

Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac2{sqrt 3 sin x + cos x}.$

Ta có: $F(x) = int frac{{2dx}{sqrt 3 sin x + cos x}} $ $=int frac{{dx}{sin left( {x + frac{pi 6} right)}}} $ $ = int frac{{{rm{d}x}}{2sin left( {frac{x2 + fracpi {12}} right)cos left( frac{x2 + fracpi {12}} right)}}} $ $ = int frac{{{rm{d}x}}{ 2tan left( {frac{x2 + fracpi {12}} right){cos ^2}left( frac{x2 + fracpi {12}} right)}}} $ $ = int frac{{dleft[ {tan left( {frac{x2 + fracpi {12}} right)} right]}}{tan left( {frac{x2 + fracpi {12}} right)}}} $ $ = ln left| tan left( {frac{x2 + fracpi {12}} right)} right| + C.$

Dạng 5: Tìm nguyên hàm: $I = int frac{{{a_1sin x + b_1cos x}}{{a_2sin x + b_2cos x}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: $a_1sin x + b_1cos x$ $ = Aleft( {a_2sin x + b_2cos x} right) + Bleft( {a_2cos x – b_2sin x} right).$
+ Bước 2: Khi đó: $I = int frac{{Aleft( {{a_2sin x + b_2cos x} right) + Bleft( {a_2cos x – b_2sin x} right)}}{{a_2sin x + b_2cos x}}} dx$ $ = Aint dx + Bint {frac{{{a_2cos x – b_2sin x}}{{a_2sin x + b_2cos x}}dx} } $ $ = Ax + Bln left| {a_2sin x + b_2cos x} right| + C.$

Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac{4sin x + 3cos x}{sin x + 2cos x}.$

Biến đổi: $4sin x + 3cos x$ $ = a(sin x + 2cos x) + b(cos x – 2sin x)$ $ = (a – 2b)sin x + (2a + b)cos x.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $left {begin{array*{20l}
a – 2b = 4\
2a + b = 3
endarray} right.$ $ Leftrightarrow left {begin{array*{20l}
a = 2\
b = – 1
endarray} right.$
Khi đó: $f(x) = frac{2(sin x + 2cos x) – (cos x – 2sin x)}{sin x + 2cos x}$ $ = 2 – frac{cos x – 2sin x}{sin x + 2cos x}.$
Do đó: $F(x) = int left( {2 – frac{{cos x – 2sin x}{sin x + 2cos x}} right)} dx$ $ = 2int dx – int frac{{d(sin x + 2cos x)}{sin x + 2cos x}} $ $ = 2x – ln |sin x + 2cos x| + C.$

Dạng 6: Tìm nguyên hàm: $I = int frac{{{a_1sin x + b_1cos x}}{{{left( {{a_2sin x + b_2cos x} right)}^2}}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: $a_1sin x + b_1cos x$ $ = Aleft( {a_2sin x + b_2cos x} right) + rm{B}left( {a_2cos x – b_2sin x} right).$
+ Bước 2: Khi đó: $I = int frac{{Aleft( {{a_2sin x + b_2cos x} right) + Bleft( {a_2cos x – b_2sin x} right)}}{{{left( {{a_2sin x + b_2cos x} right)}^2}}}} dx$ $ = Aint frac{{dx}{{a_2sin x + b_2cos x}}} + Bint frac{{{a_2cos x – b_2sin x}}{{{left( {{a_2sin x + b_2cos x} right)}^2}}}} dx$ $ = frac{rm{A}}{sqrt {{rm{a}_2^2 + rm{b}_2^2} }}int frac{{dx}{sin left( {x + alpha right)}}} – frac{rm{B}}{{{rm{a}_2}sin x + {rm{b}_2}cos x}}$ $ = frac{rm{A}}{sqrt {{rm{a}_2^2 + rm{b}_2^2} }}ln left| {rm{tan}frac{x + alpha }2} right| – frac{rm{B}}{{{rm{a}_2}sin x + b_2cos x}} + rm{C}rm{.}$
Trong đó: $sin alpha = frac{{{rm{b}_2}}}{sqrt {{rm{a}_2^2 + rm{b}_2^2} }}$ và $cos alpha = frac{{{rm{a}_2}}}{sqrt {{rm{a}_2^2 + rm{b}_2^2} }}.$

Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac{8cos x}{2 + sqrt 3 sin 2x – cos 2x}.$

Biến đổi: $f(x) = frac{8cos x}{3{{sin ^2}x + 2sqrt 3 sin xcos x + {cos ^2}x}}$ $ = frac{8cos x}{{{left( {sqrt 3 sin x + cos x right)}^2}}}.$
Giả sử: $8cos x$ $ = aleft( sqrt 3 sin x + cos x right) + bleft( sqrt 3 cos x – sin x right)$ $ = left( asqrt 3 – b right)sin x + left( a + bsqrt 3 right)cos x.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $left {begin{array*{20l}
asqrt 3 – b = 0\
a + bsqrt 3 = 8
endarray} right.$ $ Leftrightarrow left {begin{array*{20l}
a = 2\
b = 2sqrt 3
endarray} right.$
Khi đó: $f(x) = frac2{sqrt 3 sin x + cos x} – frac{2sqrt 3 left( {sqrt 3 cos x – sin x right)}}{{{left( {sqrt 3 sin x + cos x right)}^2}}}.$
Do đó: $F(x) = int frac{{2dx}{sqrt 3 sin x + cos x}} – 2sqrt 3 int frac{{dleft( {sqrt 3 sin x + cos x right)}}{{{left( {sqrt 3 sin x + cos x right)}^2}}}} $ $ = frac12ln left| tan left( {frac{x2 + fracpi {12}} right)} right| – frac{2sqrt 3 }{sqrt 3 sin x + cos x} + C.$

Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: $int frac{{2dx}{sqrt 3 sin x + cos x}} $ $ = frac12ln left| tan left( {frac{{rm{x}}2 + fracpi {12}} right)} right| + rm{C}.$

Dạng 7: Tìm nguyên hàm: $I = int frac{{{rm{d}x}}{ asin x + bcos x + c}} .$
Cách giải: Ta xét 3 trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Nếu $c = sqrt {a^2 + b^2} $ thì ta thực hiện phép biến đổi: $frac1{ asin x + bcos x + c}$ $ = frac1{cleft[ {1 + cos (x – alpha ) right]}}$ $ = frac1{2c} cdot frac1{{{cos ^2}frac{x – alpha }2}}$, trong đó: $sin alpha = frac{rm{a}}{sqrt {{{rm{a}^2} + {rm{b}^2}} }}$ và $cos alpha = fracb{sqrt {{a^2 + b^2} }}.$
Khi đó: $I = frac1{2c}int frac{{dx}{{{cos ^2}frac{x – alpha }2}}} $ $ = frac1cint frac{{dleft( {frac{{x – alpha }2} right)}}{{{cos ^2}frac{x – alpha }2}}} $ $ = frac1ctan frac{x – alpha }2 + C.$
+ Trường hợp 2: Nếu $c = – sqrt {a^2 + b^2} $ thì ta thực hiện phép biến đổi: $frac1{ asin x + bcos x + c}$ $ = frac1{cleft[ {1 – cos (x – alpha ) right]}}$ $ = frac1{2c} cdot frac1{{{sin ^2}frac{x – alpha }2}}$, trong đó: $sin alpha = fraca{sqrt {{a^2 + b^2} }}$ và $cos alpha = fracb{sqrt {{a^2 + b^2} }}.$
Khi đó: $I = frac1{2c}int frac{{dx}{{{sin ^2}frac{x – alpha }2}}} $ $ = frac1cint frac{{dleft( {frac{{x – alpha }2} right)}}{{{sin ^2}frac{x – alpha }2}}} $ $ = frac1c cot frac{x – alpha }2 + C.$
+ Trường hợp 3: Nếu $c^2 ne a^2 + b^2$ thì ta thực hiện phép đổi biến $t = tan fracx2.$
Khi đó: $dx = frac{2dt}{1 + {t^2}}$, $sin x = frac{2t}{1 + {t^2}}$ và $cos x = frac{1 – {t^2}}{1 + {t^2}}.$

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm: $I = int frac{{2dx}{2sin x – cos x + 1}} .$

Đặt $t = tan fracx2$, ta được: $dt = frac12 cdot frac1{{{cos ^2}fracx2}}dx$ $ = frac12 left( 1 + {{tan ^2}fracx2} right)dx$ $frac12left( 1 + {t^2} right)dx$ $ Rightarrow dx = frac{2dt}{1 + {t^2}}.$
Khi đó: $I = int frac{{frac{{4dt}{1 + {t^2}}}}{frac{{4t}{1 + {t^2}} – frac{1 – {t^2}}{1 + {t^2}} + 1}}} $ $ = int frac{{2dt}{{t^2 + 2t}}} $ $ = 2int frac{{d(t + 1)}{{{(t + 1)^2} – 1}}} $ $ = ln left| frac{{t – 1}{t + 1}} right| + C$ $ = ln left| frac{{tan frac{x2 – 1}}{tan frac{x2 + 1}}} right| + C$ $ = ln left| tan left( {frac{x2 – fracpi 4} right)} right| + C.$

Dạng 8: Tìm nguyên hàm: $I = int frac{{{a_1sin x + b_1cos x + c_1}}{{a_2sin x + b_2cos x + c_2}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: $a_1sin x + b_1cos x + c_1$ $ = Aleft( {a_2sin x + b_2cos x + c_2} right) + rm{B}left( {a_2cos x – b_2sin x} right) + C.$
+ Bước 2: Khi đó: $I = int frac{{Aleft( {{a_2sin x + b_2cos x + c_2} right) + Bleft( {a_2cos x – b_2sin x} right) + C}}{{a_2sin x + b_2cos x + c_2}}} dx$ $ = Aint d x + Bint frac{{{a_2cos x – b_2sin x}}{{a_2sin x + b_2cos x + c_2}}} dx + Cint frac{{dx}{{a_2sin x + b_2cos x + c_2}}} $ $ = Ax + Bln left| {a_2sin x + b_2cos x + c_2} right| + Cint frac{{dx}{{a_2sin x + b_2cos x + c_2}}} $, trong đó: $int frac{{dx}{{a_2sin x + b_2cos x + c_2}}} $ được xác định nhờ dạng 4.

Ví dụ 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac{5sin x}{2sin x – cos x + 1}.$
Giả sử: $5sin x = a(2sin x – cos x + 1) + b(2cos x + sin x) + c$ $ = (2a + b)sin x + (2b – a)cos x + a + c.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $left {begin{array*{20l}
2a + b = 5\
2b – a = 0\
a + c = 0
endarray} right.$ $ Leftrightarrow left {begin{array*{20l}
a = 2\
b = 1\
c = – 2
endarray} right.$
Khi đó: $f(x) = frac{2(2sin x – cos x + 1) + (2cos x + sin x) – 2}{2sin x – cos x + 1}$ $ = 2 + frac{2cos x + sin x}{2sin x – cos x + 1} – frac2{2sin x – cos x + 1}.$
Do đó: $F(x) = int 2 dx + int frac{{2cos x + sin x}{2sin x – cos x + 1}} dx – int frac{2{2sin x – cos x + 1}} dx$ $ = 2int d x + int frac{{d(2sin x – cos x + 1)}{2sin x – cos x + 1}} – int frac{{2dx}{2sin x – cos x + 1}} $ $ = 2x + ln |2sin x – cos x + 1| – ln left| tan left( {frac{x2 – fracpi 4} right)} right| + C.$

Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 7 là: $int frac{{2dx}{2sin x – cos x + 1}} $ $ = ln left| tan left( {frac{x2 – fracpi 4} right)} right| + C.$

Dạng 9: Tìm nguyên hàm: $I = int frac{{{a_1{sin ^2}x + b_1sin xcos x + c_1{cos ^2}x}}{{a_2sin x + b_2cos x}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: $a_1sin ^2x + b_1sin xcos x + c_1cos ^2x$ $ = left( Asin x + Bcos x right)left( {a_2sin x + b_2cos x} right) + Cleft( {{sin ^2}x + {cos ^2}x} right).$
+ Bước 2: Khi đó: $I = int frac{{left( {Asin x + Bcos x right)left( {a_2sin x + b_2cos x} right) + C}}{{a_2sin x + b_2cos x}}} dx$ $ = int left( {Asin x + Bcos x right)} dx + Cint frac{{dx}{{a_2sin x + b_2cos x}}} $ $ = – Acos x + Bsin x + fracC{sqrt {a_2^2 + b_2^2 }}int frac{{dx}{sin (x + alpha )}} $ $ = – Acos x + Bsin x + fracC{sqrt {a_2^2 + b_2^2 }}ln left| tan frac{{x + alpha }2} right| + C$, trong đó: $sin alpha = frac{{{rm{b}_2}}}{sqrt {{rm{a}_2^2 + rm{b}_2^2} }}$ và $cos alpha = frac{{a_2}}{sqrt {a_2^2 + b_2^2 }}.$

Ví dụ 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac{4{{sin ^2}x + 1}}{sqrt 3 sin x + cos x}.$

Giả sử: $4sin ^2x + 1 = 5sin ^2x + cos ^2x$ $ = left( asin x + bcos x right)left( sqrt 3 sin x + cos x right) + cleft( {{sin ^2}x + {cos ^2}x} right)$ $ = left( asqrt 3 + c right)sin ^2x + left( a + bsqrt 3 right)sin xcos x + left( b + c right)cos ^2x.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $left {begin{array*{20l}
asqrt 3 + c = 5\
a + bsqrt 3 = 0\
b + c = 1
endarray} right.$ $ Leftrightarrow left {begin{array*{20l}
a = sqrt 3 \
b = – 1\
c = 2
endarray} right.$
Khi đó: $f(x) = frac{left( {sqrt 3 sin x – cos x right)left( sqrt 3 sin x + cos x right) + 2}}{sqrt 3 sin x + cos x}$ $ = sqrt 3 sin x – cos x + frac2{sqrt 3 sin x + cos x}.$
Do đó: $F(x) = int left( {sqrt 3 sin x – cos x right)} dx – int frac{{2dx}{sqrt 3 sin x + cos x}} $ $ = – sqrt 3 cos x – sin x – frac12ln left| tan left( {frac{x2 + fracpi {12}} right)} right| + C.$

Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: $int frac{{2dx}{sqrt 3 sin x + cos x}} = frac12ln left| tan left( {frac{x2 + fracpi {12}} right)} right| + C.$

Dạng 10: Tìm nguyên hàm: $I = int frac{{dx}{a{{sin ^2}x + bsin xcos x + c{cos ^2}x}}} .$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = int frac{{dx}{left( {a{{tan ^2}x + btan x + c} right){cos ^2}x}}} .$
+ Bước 2: Thực hiện phép biến đổi: $t = tan x.$
Suy ra: $dt = frac1{{{cos ^2}x}}dx$ và $frac{dx}{left( {a{{tan ^2}x + btan x + c} right){cos ^2}x}}$ $ = frac{dt}{a{t^2 + bt + c}}.$
Khi đó: $I = int frac{{dt}{a{t^2 + bt + c}}} .$

Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm: $I = int frac{{dx}{3{{sin ^2}x – 2sin xcos x – {cos ^2}x}}} .$
Sử dụng đẳng thức: $frac{dx}{{{cos ^2}x}} = d(tan x).$
Ta có: $I = int frac{{dx}{left( {3{{tan ^2}x – 2tan x – 1} right){cos ^2}x}}} $ $ = frac13int frac{{d(tan x)}{{{left( {tan x – frac{13} right)}^2} – frac49}}} $ $ = frac13int frac{{dleft( {tan x – frac{13} right)}}{{{left( {tan x – frac{13} right)}^2} – frac49}}} $ $ = frac14ln left| frac{{tan x – frac{13 – frac23}}{tan x – frac{13 + frac23}}} right| + C$ $ = frac14ln left| frac{{tan x – 1}{3tan x + 1}} right| + C$ $ = frac14ln left| frac{{sin x – cos x}{3sin x + cos x}} right| + C.$

Dạng 11: Tìm nguyên hàm: $I = int frac{{sin xcos xdx}{{{left( {{a^2{sin ^2}x + b^2{cos ^2}x} right)}^alpha }}}} .$
Cách giải: Nhận xét rằng: $sin xcos xdx$ $ = frac1{2left( {{a^2 – b^2} right)}}dleft( {a^2{sin ^2}x + b^2{cos ^2}x} right).$
Ta xét 2 trường hợp:
+ Trường hợp 1: Với $α = 1$, ta được: $int frac{{sin xcos xdx}{{a^2{sin ^2}x + b^2{cos ^2}x}}} $ $ = frac1{2left( {{a^2 – b^2} right)}}int frac{{dleft( {{a^2{sin ^2}x + b^2{cos ^2}x} right)}}{{a^2{sin ^2}x + b^2{cos ^2}x}}} $ $ = frac1{2left( {{a^2 – b^2} right)}}ln left( {a^2{sin ^2}x + b^2{cos ^2}x} right) + C.$
+ Trường hợp 2: Với $α≠1$, ta được: $I = frac1{2left( {{a^2 – b^2} right)}}int frac{{dleft( {{a^2{sin ^2}x + b^2{cos ^2}x} right)}}{{{left( {{a^2{sin ^2}x + b^2{cos ^2}x} right)}^alpha }}}} $ $ = frac1{2left( {{a^2 – b^2} right)(1 – alpha )}}left( {{a^2{sin ^2}x + b^2{cos ^2}x} right)^ – alpha + 1} + C.$

XEM TIẾP: Phương pháp tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác (Phần 2)

Hỏi và đáp