Phương pháp giải phương trình logarit và bất phương trình logarit

Những bài tập mà KHODETHI Kiến thức Lũy thừa – Mũ – Logarit xin thu thập lại các bạn học sinh về Phương pháp giải phương trình logarit và bất phương trình logarit, thông tin được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Bài viết phân dạng và hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán phương trình logarit và bất phương trình logarit trong chương trình Giải tích 12 chương 2, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu lũy thừa – mũ – logarit được đăng tải trên KHODETHI.ORG.

A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. $log _afleft( x right) = log _agleft( x right)$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
fleft( x right) = gleft( x right)\
fleft( x right) ge 0rm{ }left( gleft( x right) ge 0 right)
endarray right.$
2. $log _afleft( x right) = b Leftrightarrow fleft( x right) = a^b.$
3. $log _afleft( x right) > log _agleft( x right)$ $(*).$
+ Nếu $a > 1$ thì $left( * right) Leftrightarrow left begin{arrayl
fleft( x right) > gleft( x right)\
gleft( x right) > 0
endarray right.$
+ Nếu $0 < a < 1$ thì $left( * right) Leftrightarrow left begin{arrayl
fleft( x right) < gleft( x right)\
fleft( x right) > 0
endarray right.$
Chú ý: $log _afleft( x right)$ có nghĩa $ Leftrightarrow left begin{arrayl
fleft( x right) > 0\
0 < a ne 1
endarray right.$
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Dạng 1. Biến đổi, quy về cùng cơ số
Phương pháp:
$log _afleft( x right) = log _agleft( x right)$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
0 < a ne 1\
fleft( x right) = gleft( x right) > 0
endarray right.$
Phương trình logarit cơ bản: $log _ax = b$, $left( 0 < a ne 1 right).$
* $log _ax = b Leftrightarrow x = a^b$, $left( 0 < a ne 1 right)$.
* $lg x = b Leftrightarrow x = 10^b$, $ln x = b Leftrightarrow x = e^b$.

Ví dụ 1. Giải các phương trình:
1. $log _{25}left( {4x + 5 right)^2} + log _5x = log _327.$
2. $log _2x + log _3x + log _4x = log _{20}x.$

1. Điều kiện: $x > 0.$
Phương trình đã cho trở thành: $log _5left( 4x + 5 right) + log _5x = 3$ $ Leftrightarrow log _5(4x^2 + 5x) = 3$ $ Leftrightarrow 4x^2 + 5x = 125$ $ Leftrightarrow x = 5$ hoặc $x = frac{25}4.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 5$ hoặc $x = frac{25}4.$
2. Điều kiện $x > 0.$ Bài áp dụng công thức đổi cơ số $log _ax = frac{{{log _b}x}}{{{log _b}a}}.$
Phương trình đã cho $ Leftrightarrow log _2x + frac{{{log _2}x}}{{{log _2}3}} + frac{{{log _2}x}}{{{log _2}4}} = frac{{{log _2}x}}{{{log _2}20}}$
$ Leftrightarrow log _2xleft( 1 + frac{1{{{log _2}3}} + frac1{{{log _2}4}} – frac1{{{log _2}20}}} right) = 0$ $ Leftrightarrow log _2x = 0 Leftrightarrow x = 1.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$
Chú ý: Ngoài ra bài toán trên ta có thể dùng công thức $log _ax = frac{ln x}{ln a}$ sẽ giải quyết nhanh gọn và đẹp hơn.

Ví dụ 2. Giải phương trình: $log _3left( {x – 2 right)^2} + log _{sqrt 3 }fracx{{x^2 – 3x + 3}} = 0.$

Điều kiện: $0 < x ne 2.$
Phương trình đã cho viết lại $log _3left( {x – 2 right)^2} + log _3left( {frac{x{{x^2 – 3x + 3}}} right)^2} = 0$
$ Leftrightarrow log _3left[ {{left( {x – 2 right)}^2}.{left( {frac{x{{x^2 – 3x + 3}}} right)}^2}} right] = 0$
$ Leftrightarrow left( {x – 2 right)^2}.left( {frac{x{{x^2 – 3x + 3}}} right)^2} = 1.$
Giải phương trình này ta được $x = 1, x = frac32, x = 3.$

Ví dụ 3. Giải phương trình: $log _2left( 8 – {x^2} right)$ $+ log _{frac{12}}left( sqrt {1 + x + sqrt 1 – x } right) – 2 = 0.$

Với $x in left[ – 1;1 right]$ phương trình đã cho viết lại: $log _2left( 8 – {x^2} right)$ $ = 2 + log _2left( sqrt {1 + x + sqrt 1 – x } right)$
$ Leftrightarrow 8 – x^2 = 4left( sqrt {1 + x + sqrt 1 – x } right)$ $(*).$
Đặt $t = sqrt 1 + x + sqrt 1 – x $, phương trình $(*)$ trở thành: $left( {{rm{t} – rm{2}} right)^rm{2}}left( {{rm{t}^rm{2}} + rm{4t} + rm{8}} right) = 0$, phương trình này có nghiệm $t = 2$ hay $sqrt 1 + x + sqrt 1 – x = 2$. Bình phương $2$ vế và rút gọn ta được $x = 0.$

Ví dụ 4. Giải phương trình: $lg sqrt 1 + x + 3lg sqrt 1 – x – 2 = lg sqrt 1 – {x^2} .$

Điều kiện: $left begin{arrayl
1 + x > 0\
1 – x > 0\
1 – x^2 > 0
endarray right.$ $ Leftrightarrow – 1 < x < 1.$
Để ý: $lg sqrt 1 – {x^2} = lg sqrt 1 + x sqrt 1 – x $ $ = lg sqrt 1 + x + lg sqrt 1 – x .$
Phương trình đã cho $ Leftrightarrow lg sqrt 1 + x + 3lg sqrt 1 – x – 2$ $ = lg sqrt 1 + x + lg sqrt 1 – x $
$ Leftrightarrow lg sqrt 1 – x = 1$ $ Leftrightarrow sqrt 1 – x = 10$ $ Leftrightarrow 1 – x = 100 Leftrightarrow x = – 99.$
Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm.

Dạng 2. Đặt ẩn phụ
Phương pháp: $fleft[ {{log _a}gleft( x right)} right] = 0$ $left( 0 < a ne 1 right)$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
t = log _agleft( x right)\
fleft( t right) = 0
endarray right.$
Ta chú ý công thức đổi cơ số: $log _bx = frac{{{log _a}x}}{{{log _a}b}}$ $ Rightarrow log _ab = frac1{{{log _b}a}}$ $forall a, b, x > 0; a, b ne 1.$

Ví dụ 5. Giải các phương trình:
1. $log _2x + sqrt 10{{log _2}x + 6} = 9.$
2. $sqrt {{log _9}x + 1} + sqrt {{log _3}x + 3} = 5.$
3. $4^{{{log _2}2rm{x}}} – x^{{{log _2}6}} = 2.3^{{{log _2}4x^2}}.$

1. Điều kiện: $x > 0$ và $10log _2x + 6 ge 0.$
Đặt $t = log _2x$, phương trình đã cho đưa về dạng: $sqrt 10t + 6 = 9 – t$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
9 – t ge 0\
10t + 6 = left( {9 – t right)^2}
endarray right.$ từ đây ta tìm được $t = 3$ tức $x = 8.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 8.$
2. Điều kiện: $x > 0$ và $log _3x + 3 ge 0,$ $log _9x + 1 ge 0.$
Đặt $t = log _3x$, phương trình đã cho về dạng $sqrt frac{12t + 1} + sqrt t + 3 = 5$ $(1).$
Với điều kiện $t ge – 2$, bình phương hai vế của $(1)$ và rút gọn ta được: $sqrt frac{12t^2 + frac52t + 3} = 21 – frac32t$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
– 2 le t le 14\
t^2 – 292t + 1716 = 0
endarray right.$ $⇒t = 6$ tức $x = 64.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 64.$
3. Điều kiện: $x > 0.$
Phương trình đã cho $ Leftrightarrow 4^{1 + {{log _2}x}} – 6^{{{log _2}x}} = 2.3^{2 + 2{{log _2}x}}$ $ Leftrightarrow 4.4^{{{log _2}x}} – 6^{{{log _2}x}} – 18.9^{{{log _2}x}} = 0$ $ Leftrightarrow 4.left( {frac{23} right)^{{log _2}x}} – left( {frac{23} right)^{{log _2}x}} – 18 = 0.$
Đặt $t = left( {frac{23} right)^{{log _2}x}}, t > 0$, ta có: $4t^2 – t – 18 = 0 Leftrightarrow t = frac94$ $ Leftrightarrow left( {frac{23} right)^{{log _2}x}} = frac94 = left( {frac{23} right)^ – 2}$ $ Leftrightarrow log _2x = – 2 Leftrightarrow x = frac14.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = frac14.$

Ví dụ 6. Giải phương trình: $log _2xleft( {x – 1 right)^2}$ $ + log _2x.log _2left( {x^2 – x} right) – 2 = 0.$

Điều kiện: $x > 1.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$log _2frac{{{left( {{x^2 – x} right)}^2}}}x$ $ + log _2x.log _2left( {x^2 – x} right) – 2 = 0$
$ Leftrightarrow 2log _2left( {x^2 – x} right) – log _2x$ $ + log _2x.log _2left( {x^2 – x} right) – 2 = 0$ $(*).$
Đặt $u = log _2left( {x^2 – x} right)$ và $v = log _2x.$ Đưa phương trình $(*)$ về phương trình:
$left( u – 1 right)left( v + 2 right) = 0$
$ Leftrightarrow u = 1$ hoặc $v = – 2.$
+ Với $u = 1$ thì $log _2left( {x^2 – x} right) = 1$ $ Leftrightarrow x^2 – x = 2 Leftrightarrow x = 2.$
+ Với $v = – 2$ thì $log _2x = – 2 Leftrightarrow x = frac14$ (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 2.$

Dạng 3. Biến đổi phương trình về dạng tích
Phương pháp: $fleft( x right).gleft( x right) = 0rm{ }$ $ Leftrightarrow fleft( x right) = 0$ hoặc $gleft( x right) = 0.$

Ví dụ 7. Giải phương trình: $log _3x + log _4x = log _5x.$

Dễ thấy: $log _4x = log _43.log _3x$, $log _5x = log _53.log _3x.$
Với $x > 0$. Phương trình được viết dưới dạng:
$log _3x + log _43.log _3x = log _53.log _3x$ $ Leftrightarrow log _3x = 0 Leftrightarrow x = 1.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

Ví dụ 8.  Giải các phương trình:
1. $log _{5x}frac5x + log _5^2x = 1.$
2. $log _{{x^2}}16 + log _{2x}64 = 3rm{ }.$

1. Điều kiện: $0 < x ne frac15.$
Phương trình đã cho $ Leftrightarrow frac{{{log _5}frac5x}}{{{log _5}5x}} + log _5^2x = 1$ $ Leftrightarrow frac{1 – {{log _5}x}}{1 + {{log _5}x}} + log _5^2x = 1$
$ Leftrightarrow log _5x(log _5^2x + log _5x – 2) = 0$ $ Leftrightarrow log _5xleft( {{log _5}x – 1} right)left( {{log _5}x + 2} right) = 0$
$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
log _5x = 0\
log _5x = 1\
log _5x = – 2
endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl
x = 1\
x = 5\
x = 5^{ – 2}
endarray right.$
Vậy phương trình có ba nghiệm: $x = 1; x = 5; x = frac1{25}.$
2. Điều kiện: $0 < x ne 1, x ne frac12.$
Phương trình đã cho $ Leftrightarrow frac{{{log _2}16}}{{{log _2}x^2}} + frac{{{log _2}64}}{{{log _2}2x}} = 3$ $ Leftrightarrow frac2{{{log _2}x}} + frac6{1 + {{log _2}x}} = 3$
$ Leftrightarrow 3log _2^2x – 5log _2x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left( {{log _2}x – 2} right)left( 3{{log _2}x + 1} right) = 0$
$ Leftrightarrow left[ beginarrayl
log _2x = 2\
log _2x = – frac13
endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl
x = 4\
x = frac1{sqrt[3]{2}}
endarray right.$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = 4; x = frac1{sqrt[3]{2}}.$

Dạng 4. Phương pháp đồ thị
Phương pháp:
Giải phương trình: $log _ax = fleft( x right)$ $left( 0 < a ne 1 right)$ $(*).$
$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm của $2$ đồ thị $y = log _ax$ $left( 0 < a ne 1 right)$ và $y = fleft( x right)$. Khi đó ta thực hiện 2 bước:
+ Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y = log _ax$ $left( 0 < a ne 1 right)$ và $y = fleft( x right).$
+ Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của  đồ thị.

Ví dụ 9. Giải phương trình: $log _3left[ {{left( {x + 1 right)}^3} + 3{left( {x + 1 right)}^2} + 3x + 4} right]$ $ = 2log _2left( x + 1 right).$

Điều kiện: $x > – 1.$
Phương trình đã cho tương đương $log _3left( {x + 2 right)^3} = 2log _2left( x + 1 right)$ hay $3log _3left( x + 2 right) = 2log _2left( x + 1 right).$
Đặt $3log _3left( x + 2 right) = 2log _2left( x + 1 right) = 6t$ suy ra $left {begin{array*{20c}
x + 2 = {3^{2t}}\
x + 1 = {2^{3t}}
endarray} right. Rightarrow 9^t – 8^t = 1$, tức $left( {frac{19} right)^t} + left( {frac{89} right)^t} = 1$ $(*).$
Xét hàm $fleft( t right)rm{ } = left( {frac{19} right)^t} + left( {frac{89} right)^t}$, ta thấy hàm $fleft( t right)$ nghịch biến, lại có $fleft( 1 right) = 1$ nên $t = 1$ là nghiệm duy nhất của $(*).$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 7.$

Ví dụ 10. Giải phương trình: $log _2left( x + {3^{{{log _6}x}}} right) = log _6x.$

Đặt $t = log _6x Rightarrow x = 6^t.$ Phương trình đã cho trở thành: $6^t + 3^t = 2^t$, chia cả $2$ vế cho $2^t.$
Xét hàm số $fleft( t right) = 3^t + left( {frac{32} right)^t} – 1$, vì $3 > frac32 > 1$ nên $fleft( t right)$ tăng và $fleft( – 1 right) = 0$, do đó $fleft( t right) = 0$ xảy ra khi $t = – 1$ tức $x = frac16.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = frac16.$

Ví dụ 11. Giải phương trình: $left( 3x – 5 right)log _3^2x$ $ + left( 9x – 19 right)log _3x – 12 = 0.$

Điều kiện: $x > 0.$
Đặt $t = log _3x,$ phương trình trở thành: $left( 3x – 5 right)t^2 + left( 9x – 19 right)t – 12 = 0.$
Khi $x = frac53$, phương trình vô nghiệm.
Khi $x ne frac53$, ta có: $Delta = left( {9x – 11 right)^2}$, khi đó phương trình có $2$ nghiệm $t = – 3$ hoặc $t = frac4{3x – 5}.$
+ Với $t = – 3$ tức $log _3x = – 3$ $ Leftrightarrow x = 3^{ – 3} = frac1{27}.$
+ Với $t = frac4{3x – 5}$ tức $log _3x = frac4{3x – 5}$. Xét hàm số: $fleft( x right) = log _3x – frac4{3x – 5}$ với $0 < x ne frac53.$
Ta có: $f’left( x right) = frac1{xln 3} + frac{12}{{{left( {3x – 5 right)}^2}}} > 0$, với mọi $0 < x ne frac53.$
$mathop lim limits_x to + infty fleft( x right) = + infty $, $mathop lim limits_x to {{left( {frac{53} right)}^ – }} fleft( x right) = + infty $, $mathop lim limits_x to {{left( {frac{53} right)}^ + }} fleft( x right) = – infty .$
Lập bảng biến thiên, dễ thấy phương trình $fleft( x right) = 0$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt, hơn nữa $fleft( 3 right) = fleft( frac{13} right) = 0$ nên phương trình $fleft( x right) = 0$ luôn có $2$ nghiệm $x = frac13$ hoặc $x = 3.$
Vậy, phương trình có $3$ nghiệm: $x in left {frac{1{27};frac13;3} right}.$

Dạng 5. Giải bất phương trình logarit
Ví dụ 12. Giải bất phương trình:
1. $log _2left( sqrt {3x + 1 + 6} right) – 1$ $ ge log _2left( 7 – sqrt {10 – x } right).$
2. $log _2frac{5 – 12x}{12x – 8} + log _{frac{12}}x le 0.$

1. Điều kiện: $left begin{arrayl
3x + 1 ge 0\
10 – x ge 0\
7 – sqrt 10 – x > 0
endarray right.$ $ Leftrightarrow – frac13 le x le 10.$
Bất phương trình tương đương với $log _2frac{sqrt {3x + 1 + 6}}2$ $ ge log _2left( 7 – sqrt {10 – x } right)$
$ Leftrightarrow sqrt 3x + 1 + 6 ge 2left( 7 – sqrt {10 – x } right)$
$ Leftrightarrow sqrt 3x + 1 + 2sqrt 10 – x ge 8$
$ Leftrightarrow rm{49}{rm{x}^rm{2}}-rm{ 418x } + rm{ 369 } le rm{ }0$
$ Leftrightarrow rm{1 } le rm{ x } le frac{369}{49}$ (thoả điều kiện).
Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm $rm{1 } le rm{ x } le frac{369}{49}.$

2. Bất phương trình đã cho tương đương với $left begin{arrayl
frac{5 – 12x}{12x – 8} le x\
frac{5 – 12x}{12x – 8} > 0
endarray right.$
$ Leftrightarrow left begin{arrayl
frac{ – 12{x^2 – 4x + 5}}{12x – 8} le 0\
frac{5 – 12x}{12x – 8} > 0
endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
left[ beginarrayl
– frac56 le x le frac12\
x > frac23
endarray right.\
frac5{12} < x < frac23
endarray right.$ $ Leftrightarrow frac5{12} < x le frac12.$
Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm $frac5{12} < x le frac12.$

Hỏi và đáp