MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ (Cực hay) – Thư viện Đề thi và Kiểm tra Đề thi Toán Đại số lớp 9

Nội dung bài được KHODETHI.ORG Đề thi Toán Đại số lớp 9 xin thu thập lại bạn đọc về MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ (Cực hay), nội dung được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ
Bài 1
Cho A>0; B>0. Chứng minh rằng
Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B =
Giải
1) Do (A – B)2 ≥ 0 nên với A >0; B >0
Bất đẳng thức xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi A = B
2) Từ bất đẳng thức luôn đúng suy ra :
vì x+y+z =1 nên suy ra . Bất đẳng thức xẩy ra “=” khi và chỉ khi x = y = z = 1/3
– Ta có với A >0; B >0.
Áp dụng các bất đẳng thức trên ta có :

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 14 khi x = y = z = 1/3

Bài 2: 1. Chứng minh 2. Chứng minh
Giải

2) Áp dụng kết quả phần 1:

( do a + b + c 1)
Dấu “=” xảy ra a = b = c =
Bài 3
1.Cho x>1. Chứng minh
2. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E =
Giải
1.(luôn đúng với x>1)=>
Dấu bằng xảy ra khi x = 2.
2. Theo bất đẳng thức Côsi ta có : E =
Áp dụng câu a ta có =>E . Vậy GTNN của E là 8 khi a = b = 2
Bài 4:  Cho a, b, c >0. Chứng minh:
a) b)
Giải
a) Vì a,b,c >0 nên áp dụng phép biến đổi tương đương và rút gọn, được

Áp dụng bất đẳng thức Côssi ta chứng minh được BĐT trên
Dấu = xảy ra khi a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức câu a)
Tương tự có:

Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế:

Bài 5: a) Cho a, b >0. Chứng minh rằng: 3(b2 + 2a2) ( (b + 2a)2
b) Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
.
Giải
a/ 3(b2 + 2a2) ( (b + 2a)2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
b/Theo câu a):

Chứng minh tươngtự:

Cộng (1), (2) và (3) vếvớivế ta được

Bài 6. Cho thỏa mãn .
a) Chứng minh . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Giải
a)
b) Có .
(Do )
Vậy GTNN của A bằng 2 khi và chỉ khi .
Bài 7:
Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh
Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Giải
a) Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có
(1)
b) Áp dụng BĐT (1) ta có: (1’)
Tương tự (2’); (3’)
Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Bài 8
Cho a,b >0 và ab>1. Chứng minh rằng:
Cho a,b >0 và ab>1. Chứng minh rằng:
Giải
a.Ta có: (
( 2+a2 +b2 +2ab +a3b+ab3 2+2a2 + 2b2 +2a2b2 ( Do 2 mẫu có giá trị dương)
( ( ab-1)(a-b)2 0 ( Luôn đúng do a, b >0 và ab>1)
Dấu = xảy ra ( a = b
b.Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có

Tương tự:

Cộng vế với vế của ba BĐT trên và chia cả hai vế của BĐT cho 4 >0 ta được :

Dấu = xảy ra ( a = b = c
Bài 9.
a) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:
b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
Chứng minh bất đẳng thức:.
Giải
a) a, b, c là các số thực dương áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.