Một số bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ

Nội dung bài được Kho_đề_thi Kiến thức Vector xin thu thập lại quý bạn đọc về Một số bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ, nội dung được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải một số bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Hình học 10 chương 2.

Phương pháp giải toán:
Bài 1: Tính tích vô hướng của các vectơ. Sử dụng các công thức:
• $overrightarrow a .overrightarrow b = left| overrightarrow a right|.left| overrightarrow b right|.cos (widehat overrightarrow a ,overrightarrow b ).$
• Các tính chất của phép toán tích vô hướng của hai vectơ và các hằng đẳng thức về tích vô hướng như:
$left( {vec a pm vec b right)^2} = left right|^2} + left right|^2} pm 2vec a.vec b.$
$(vec a + vec b).(vec a – vec b) = vec a^2 – vec b^2.$
• $overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow a .overrightarrow b’ $, trong đó $overrightarrow b’ $ là hình chiếu của $overrightarrow b $ lên giá của $overrightarrow a .$

Bài tập 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng. Sử dụng:
• Định nghĩa và tính chất của tích vô hướng phối hợp với các quy tắc về các phép toán vectơ.
• Công thức hình chiếu.
• Đối với các đẳng thức có liên quan đến độ dài thì chú ý: $overrightarrow {AB ^2} = {overrightarrow {AB } right|^2} = (overrightarrow {OB – overrightarrow OA )^2}.$

Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a.$ Tính:
a) $overrightarrow AB .overrightarrow AC $, $overrightarrow AB .overrightarrow BC $, $overrightarrow BC .overrightarrow CA .$
b) $overrightarrow AB .overrightarrow BC + overrightarrow BC .overrightarrow CA + overrightarrow CA .overrightarrow AB .$

mot-so-bai-toan-lien-quan-den-tich-vo-huong-cua-hai-vecto-1

a) Ta có: $overrightarrow AB .overrightarrow AC = left| overrightarrow {AB } right|.left| overrightarrow {AC } right|.cos (widehat overrightarrow {AB ;overrightarrow AC })$ $ = AB.AC.cos widehat BAC$ $ = a.a.cos 60^0 = frac{{a^2}}2.$
Dựng $overrightarrow AD = overrightarrow BC $, ta có: $overrightarrow AB .overrightarrow BC = overrightarrow AB .overrightarrow AD $ $ = left| overrightarrow {AB } right|.left| overrightarrow {AD } right|.cos (widehat overrightarrow {AB ;overrightarrow AD })$ $ = AB.AD.cos 120^0$ $ = a.a.cos 120^0 = – frac{{a^2}}2.$
Ta có thể tính tương tự như trên hoặc sử dụng quy tắc $3$ điểm: $overrightarrow BC .overrightarrow CA = (overrightarrow AC – overrightarrow AB ).( – overrightarrow AC )$  $ = – overrightarrow {AC ^2} + overrightarrow AB .overrightarrow AC $ $ = – a^2 + frac{{a^2}}2 = – frac{{a^2}}2.$
b) Áp dụng kết quả trên, ta có: $overrightarrow AB .overrightarrow BC = overrightarrow BC .overrightarrow CA = overrightarrow CA .overrightarrow AB = – frac{{a^2}}2.$
Suy ra: $overrightarrow AB .overrightarrow BC + overrightarrow BC .overrightarrow CA + overrightarrow CA .overrightarrow AB $ $ = 3left( – frac{{{a^2}}2} right) = – frac{3{a^2}}2.$
Cách khác: Ta có thể tính trực tiếp không dựa vào kết quả câu a.
Ta có: $overrightarrow AB + overrightarrow BC + overrightarrow CA = overrightarrow 0 .$
Suy ra: $left( {overrightarrow {AB + overrightarrow BC + overrightarrow CA } right)^2} = 0.$
Do đó: $overrightarrow {AB ^2} + overrightarrow {BC ^2} + overrightarrow {CA ^2}$ $+2left( overrightarrow {AB .overrightarrow BC + overrightarrow BC .overrightarrow CA + overrightarrow CA .overrightarrow AB } right) = 0.$
Vậy $overrightarrow AB .overrightarrow BC + overrightarrow BC .overrightarrow CA + overrightarrow CA .overrightarrow AB $ $ = – frac{A{B^2 + BC^2 + CA^2}}2 = – frac{3{a^2}}2.$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ với $AB = 5 cm$, $BC = 7cm$, $CA = 8cm.$
a) Tính $overrightarrow AB .overrightarrow AC .$ Suy ra số đo của góc $widehat A.$
b) Tính $overrightarrow CA .overrightarrow CB $, từ đó suy ra $overrightarrow CB .overrightarrow CD $ với $D$ là điểm nằm trên cạnh $CA$ sao cho $CD = 4 cm.$

a) Ta có: $overrightarrow BC = overrightarrow AC – overrightarrow AB .$
Suy ra: $overrightarrow {BC ^2} = overrightarrow {AC ^2} + overrightarrow {AB ^2} – 2overrightarrow AC .overrightarrow AB .$
Vậy: $overrightarrow AC .overrightarrow AB = frac{A{C^2 + AB^2 – BC^2}}2$ $ = frac{64 + 25 – 49}2 = 20.$
Mặc khác: $overrightarrow AC .overrightarrow AB = left| overrightarrow {AC } right|.left| overrightarrow {AB } right|cos left( widehat {overrightarrow {AC .overrightarrow AB }} right)$ $ = AC.AB.cos A.$
Suy ra: $cos A = frac{overrightarrow {AC .overrightarrow AB }}{AC.AB} = frac{20}{8.5} = frac12.$
Do đó: $widehat A = 60^0 .$
b) Tương tự ở trên ta có:
$overrightarrow CA .overrightarrow CB = frac{C{A^2 + CB^2 – AB^2}}2$ $ = frac{64 + 49 – 25}2 = 44.$
Suy ra: $cos left( widehat {overrightarrow {CA ,overrightarrow CB }} right) = frac{overrightarrow {CA .overrightarrow CB }} {overrightarrow {CA } right|.left| overrightarrow {CB } right|}}$ $ = frac{44}{8.7} = frac{11}{14}.$
Mà $D$ nằm trên cạnh $CA$ nên $(overrightarrow CD ,overrightarrow CB ) = (overrightarrow CA ,overrightarrow CB ).$
Do vậy $overrightarrow CD .overrightarrow CB = left| overrightarrow {CD } right|.left| overrightarrow {CB } right|.cos left( widehat {overrightarrow {CA .overrightarrow CB }} right)$ $ = 4.7 cdot frac{11}{14} = 22.$

Ví dụ 3: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $O$. $M$ là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông và $N$ là điểm tùy ý trên cạnh $BC$. Tính:
a) $overrightarrow MA .overrightarrow MB + overrightarrow MC .overrightarrow MD .$
b) $overrightarrow NA .overrightarrow AB $ và $overrightarrow NO .overrightarrow BA .$

mot-so-bai-toan-lien-quan-den-tich-vo-huong-cua-hai-vecto-2

a) Ta có: $overrightarrow MA .overrightarrow MB + overrightarrow MC .overrightarrow MD $ $ = (overrightarrow MO + overrightarrow OA )(overrightarrow MO + overrightarrow OB )$ $ + (overrightarrow MO + overrightarrow OC )(overrightarrow MO + overrightarrow OD )$ $ = overrightarrow {MO ^2} + overrightarrow MO .overrightarrow OA $ $ + overrightarrow MO .overrightarrow OB + overrightarrow OA .overrightarrow OB $ $ + overrightarrow {MO ^2} + overrightarrow MO .overrightarrow OD $ $ + overrightarrow MO .overrightarrow OC + overrightarrow OC .overrightarrow OD $ $ = 2MO^2 + overrightarrow MO (overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC + overrightarrow OD )$ $ + overrightarrow OA .overrightarrow OB + overrightarrow OC .overrightarrow OD $ $ = 2MO^2 = frac{{a^2}}2$ (vì $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC + overrightarrow OD = vec 0$ và $OA bot OB$, $OC bot OD$ nên $overrightarrow OA .overrightarrow OB = overrightarrow OC .overrightarrow OD = 0$).
b) Ta có:
$overrightarrow NA .overrightarrow AB = overrightarrow BA .overrightarrow AB $ $ = – overrightarrow AB .overrightarrow AB = – AB^2 = – a^2.$
$overrightarrow NO .overrightarrow BA = overrightarrow BI .overrightarrow BA $ $ = frac12a.a = frac{{a^2}}2$ (với $I$ là trung điểm của $AB$).

Ví dụ 4: Cho $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$ bất kỳ. Chứng minh rằng:
a) $overrightarrow AB .overrightarrow CD + overrightarrow AC .overrightarrow DB + overrightarrow AD .overrightarrow BC = 0$ (hệ thức Euler). Suy ra $3$ đường cao của một tam giác thì đồng quy.
b) $AD^2 + BC^2 – AC^2 – BD^2$ $ = 2overrightarrow AB .overrightarrow CD .$

a) Ta có: $overrightarrow AB .overrightarrow CD + overrightarrow AC .overrightarrow DB + overrightarrow AD .overrightarrow BC $ $ = overrightarrow AB (overrightarrow AD – overrightarrow AC )$ $ + overrightarrow AC (overrightarrow AB – overrightarrow AD )$ $ + overrightarrow AD (overrightarrow AC – overrightarrow AB )$ $ = overrightarrow AB .overrightarrow AD – overrightarrow AB .overrightarrow AC $ $ + overrightarrow AC .overrightarrow AB – overrightarrow AC .overrightarrow AD $ $ + overrightarrow AD .overrightarrow AC – overrightarrow AD .overrightarrow AB = 0.$
Gọi $H$ là giao điểm của $2$ đường cao xuất phát từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC.$ Khi đó áp dụng hệ thức Euler đối với $4$ điểm $H$, $A$, $B$, $C$ ta có: $overrightarrow HA .overrightarrow BC + overrightarrow HB .overrightarrow CA + overrightarrow HC .overrightarrow BA = 0.$
Ta có $HB bot CA$, $HC bot BA$ nên $overrightarrow HB .overrightarrow CA = overrightarrow HC .overrightarrow BA = 0.$
Suy ra: $overrightarrow HA .overrightarrow BC = 0.$
Do đó $HA bot BC$ hay $HA$ là đường cao của tam giác $ABC.$
Vậy $3$ đường cao tam giác $ABC$ đồng quy tại một điểm.
b) Ta có: $AD^2 + BC^2 – AC^2 – BD^2$ $ = overrightarrow {AD ^2} – overrightarrow {AC ^2} + overrightarrow {BC ^2} – overrightarrow {BD ^2}$ $ = (overrightarrow AD + overrightarrow AC )(overrightarrow AD – overrightarrow AC )$ $ + (overrightarrow BC + overrightarrow BD )(overrightarrow BC – overrightarrow BD )$ $ = (overrightarrow AD + overrightarrow AC ).overrightarrow CD $ $ + (overrightarrow BC + overrightarrow BD ).overrightarrow DC $ $ = (overrightarrow AD + overrightarrow AC – overrightarrow BC – overrightarrow BD ).overrightarrow CD $ $ = (overrightarrow AD + overrightarrow DB + overrightarrow AC + overrightarrow CB ).overrightarrow CD $ $ = (overrightarrow AB + overrightarrow AB ).overrightarrow CD $ $ = 2overrightarrow AB .overrightarrow CD .$

Ví dụ 5: Cho tam giác $ABC$ có $AM$, $AH$ lần lượt là trung tuyến và đường cao của tam giác ứng với cạnh $BC.$ Chứng minh rằng:
a) $overrightarrow AB .overrightarrow AC = AM^2 – frac{B{C^2}}4.$
b) $AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + frac{B{C^2}}2.$
c) $AB^2 – AC^2 = 2overrightarrow BC .overrightarrow MH .$

mot-so-bai-toan-lien-quan-den-tich-vo-huong-cua-hai-vecto-3

a) Ta có: $overrightarrow AB .overrightarrow AC $ $ = (overrightarrow AM + overrightarrow MB )(overrightarrow AM + overrightarrow MC )$ $ = (overrightarrow AM + overrightarrow MB )(overrightarrow AM – overrightarrow MB )$ $ = overrightarrow {AM ^2} – overrightarrow {MB ^2}$ $ = AM^2 – frac{B{C^2}}4.$
b) Ta có: $AB^2 + AC^2$ $ = overrightarrow {AB ^2} + overrightarrow {AC ^2}$ $ = (overrightarrow {AM + overrightarrow MB )^2} + (overrightarrow {AM + overrightarrow MC )^2}$ $ = (overrightarrow {AM + overrightarrow MB )^2} + (overrightarrow {AM – overrightarrow MB )^2}$ $ = 2overrightarrow {AM ^2} + 2overrightarrow {MB ^2}$ $ = 2AM^2 + 2MB^2$ $ = 2AM^2 + frac{B{C^2}}2.$
c) $AB^2 – AC^2$ $ = overrightarrow {AB ^2} – overrightarrow {AC ^2}$ $ = (overrightarrow AB – overrightarrow AC )(overrightarrow AB + overrightarrow AC )$ $ = overrightarrow CB .2overrightarrow AM $ $ = 2overrightarrow CB .overrightarrow HM $ $ = 2overrightarrow BC .overrightarrow MH .$

Hỏi và đáp