Giải một số bài BĐT hay – Thư viện Đề thi và Kiểm tra Đề thi Toán Đại số lớp 9

Tắt (X)

Quảng cáo Adsense

Tổng hợp bài Kho_đề_thi Đề thi Toán Đại số lớp 9 xin thu thập lại quý bạn đọc về Giải một số bài BĐT hay, thông tin được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN

Bài 1: Thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2007 – 2008
Cho x, y, ≥ 0 ; x + y + z = 1. Chứng minh rằng

Cách 1:
*) Xét với (1)
Mặt khác từ:

(2)
Từ (1) và (2)
*) Với
mặt khác từ (3)
Từ (3) Ta có:

mà (4)
(5)
Dấu “=” ở (5) xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (3) và (4) xảy ra, nghĩa là:

Cách 2: Ta đi chứng minh một bất đẳng thức phụ sau: với x, y, ≥ 0 ta có:
(1)
Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:
*) Trường hợp 1: Cả 3 thừa số đều âm hoặc có hai thừa số dương và một thừa số âm thì (1) hiển nhiên đúng.
*) Trường hợp 2: Có hai thừa số âm, một thừa số dương
Giả sử: (trái với giả thiết, vậy trường hợp này không xảy ra).
*) Trường hợp cả 3 thừa số đều dương: Ta đặt

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-Si cho 2 số không âm, ta có:
(2) : (3) ; (4)
Nhân vế với vế của (2), (3) và (4) ta được:

Như vậy trong mọi trường hợp ta luôn chứng minh được:
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Mặt khác do x + y + z = 1, nên ta có thể phân tích (1) như sau:

mà theo bất đẳng thức Cô-si thì
(5)
Vậy:

Dấu “=” xảy ra

Bài 2: Thi chuyên Vĩnh Phúc năm 2008 – 2009
Cho x, y, z là 3 số thực dương . Chứng minh rằng:

Ta có:

Xét:

Đến đây áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ky cho 2 cặp số
Ta có:

nhưng do x, y, z >0 nên, suy ra
(1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có :
(2)
(3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3), ta có:
(4)
Dấu “=” ở (4) xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (1) , (2) và (3) xảy ra, tức là:

Bài 3: Đề thi GVG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2006 – 2007
Cho 3 số dương a, b, c luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức

Ta có:
Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số a, b ta có:
(1)
Hoặc bất đẳng thức thức Cô-si cho 2 số a2 và b2 ta cũng có :

Tương tự ta cũng có
(2) và
(3)
Cộng từng vế của (1) , (2) và (3) ta có:

Vậy . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy

Bài 4: Đề thi GVG tỉnh Vĩnh Phúc 2008 – 2009
Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Hãy tìm GTNN của

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ky
Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ky cho các số dương ta có:

Mặt khác ta luôn chứng minh được:
thật vậy:

Hay . dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Vậy Min P = 1 ( a = b = c (khi đó tam giác là tam giác đều)

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
Ta đặt:

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

Dấu “=” xảy ra (
Vậy Min P = 1 ( a = b = c (khi đó tam giác là tam giác đều)

Hỏi và đáp