Dùng phương pháp vectơ để giải một số bài toán hình học phẳng

Nội dung bài được Kho_đề_thi Kiến thức Vector xin tổng hợp lại quý bạn đọc về Dùng phương pháp vectơ để giải một số bài toán hình học phẳng, dữ liệu được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Bài viết hướng dẫn dùng phương pháp vectơ để giải một số bài toán hình học phẳng, nội dung bài viết gồm hai phần: trình bày phương pháp giải toán và một số ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Phương pháp giải toán:
1. Phương pháp: Để giải một số bài toán hình học bằng phương pháp vectơ ta tiến hành:
• Bước 1:
+ Lựa chọn một vectơ “gốc”.
+ Chuyển đổi giả thiết, kết luận bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ.
• Bước 2: Thực hiện các phép biến đổi các biểu thức vectơ theo yêu cầu bài toán.
• Bước 3: Chuyên các kết luận từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình học tương ứng.
2. Các dạng bài toán:
Bài tập 1: Chứng minh ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
+ Để chứng minh $A$, $B$, $C$ thẳng hàng ta cần chứng minh $overrightarrow AB $ cùng phương với $overrightarrow AC $ (hoặc $overrightarrow AB $ cùng phương $overrightarrow BC $ hoặc $overrightarrow AC $ cùng phương với $overrightarrow BC $), tức là chứng minh đẳng thức vectơ $overrightarrow AB = koverrightarrow AC $ với $k in R.$
+ Ngoài ra để chứng minh $A$, $B$, $C$ thẳng hàng ta có thể chứng minh đẳng thức vectơ $overrightarrow MB = koverrightarrow MC + (1 – k)overrightarrow MA $ với $M$ bất kì, $k in R.$
Nội dung bài 2: Chứng minh ba đường thẳng $a$, $b$, $c$ đồng quy thì quy về bài toán 1 bằng cách:
+ Gọi $A$ là giao điểm của $a$ và $b.$
+ Chứng minh $A in c$ tức là $A$, $B$, $C$ thẳng hàng với $B$, $C$ là hai điểm nằm trên đường thẳng $c.$
Bài tập 3: Chứng minh $AB$ song song với $CD$, ta chứng minh $A$, $B$, $C$, $D$ không thẳng hàng và $overrightarrow AB = koverrightarrow CD .$
Bài 4: Chứng minh $AB$ vuông góc $CD$, ta chứng minh $overrightarrow AB .overrightarrow CD = 0.$
Bài 5: Các dạng toán tính độ dài, tính góc thì chú ý sử dụng:
$AB = sqrt left }^2}} right|} = sqrt overrightarrow {AB .overrightarrow AB } $
$cos alpha = frac{vec a.vec b}{left right|.left| vec b right|}}$ ($alpha $ là góc giữa hai vectơ $overrightarrow a $, $overrightarrow b $).

Ví dụ minh họa:
Bài tập 1: Cho tam giác $ABC$, lấy các điểm $M$, $N$, $P$ sao cho:
$overrightarrow MB – 2overrightarrow MC $ $ = overrightarrow NA + 2overrightarrow NC $ $ = overrightarrow PA + overrightarrow PB = vec 0.$
Chứng minh rằng $M$, $N$, $P$ thẳng hàng.

dung-phuong-phap-vecto-de-giai-mot-so-bai-toan-hinh-hoc-phang-1

Để chứng minh $M$, $N$, $P$ thẳng hàng ta cần chứng minh $overrightarrow PM = koverrightarrow PN $, $k in R.$
Biểu thị $overrightarrow PM $, $overrightarrow PN $ theo hai vectơ $overrightarrow AB $, $overrightarrow AC $ (hệ vectơ “gốc”).
Ta có:
$overrightarrow PN = overrightarrow PA + overrightarrow AN $ $ = – frac12overrightarrow AB + frac23overrightarrow AC .$
$overrightarrow PM = overrightarrow PB + overrightarrow BM $ $ = frac12overrightarrow AB + 2overrightarrow BC $ $ = frac12overrightarrow AB + 2(overrightarrow AC – overrightarrow AB )$ $ = – frac32overrightarrow AB + 2overrightarrow AC $ $ = 3left( – frac{12overrightarrow AB + frac23overrightarrow AC } right) = 3overrightarrow PN .$
Vậy $overrightarrow PM = 3overrightarrow PN $ hay $M$, $N$, $P$ thẳng hàng.

Nội dung bài 2: Cho tam giác $ABC$, gọi $O$, $G$, $H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng $O$, $G$, $H$ thẳng hàng.

dung-phuong-phap-vecto-de-giai-mot-so-bai-toan-hinh-hoc-phang-2

Để chứng minh $O$, $G$, $H$ thẳng hàng, ta cần chứng minh $overrightarrow OG = koverrightarrow OH $, $k in R.$
Ta có: $overrightarrow OG = frac13(overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC ).$
Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$, $E$ là trung điểm của $BC.$
Ta có:
$CD//BH$ vì cùng vuông góc với $AC.$
$BD//CH$ vì cùng vuông góc với $AB.$
Suy ra $BDCH$ là hình bình hành. Do đó $E$ là trung điểm của $HD.$
Do đó: $overrightarrow OH = overrightarrow OA + overrightarrow AH $ $ = overrightarrow OA + 2overrightarrow OE $ $ = overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC .$
Như vậy $overrightarrow OG = frac13overrightarrow OH $ hay $O$, $G$, $H$ thẳng hàng.

Bài tập 3: Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $A_1B_1C_1D_1$ sắp xếp sao cho $B_1$ thuộc cạnh $AB$, $D_1$ thuộc cạnh $AD.$ Chứng minh rằng các đường thẳng $DB_1$, $BD_1$ và $CC_1$ đồng quy.

dung-phuong-phap-vecto-de-giai-mot-so-bai-toan-hinh-hoc-phang-3

Gọi $overrightarrow AB = vec a$, $overrightarrow AD = vec b.$
Vì $A$, $B_1$, $B$ thẳng hàng nên: $overrightarrow A{B_1} = koverrightarrow AB $ $(1).$
Vì $A$, $D_1$, $D$ thẳng hàng nên: $overrightarrow {AD _1} = hoverrightarrow AD $ $(2).$
Gọi $P$ là giao điểm $DB_1$ và $D_1B.$
Vì $B_1$, $P$, $D$ thẳng hàng nên $overrightarrow AP = alpha overrightarrow A{B_1} + (1 – alpha )overrightarrow AD $ $(3).$
Vì $B$, $P$, $D_1$ thẳng hàng nên $overrightarrow AP = beta overrightarrow AB + (1 – beta )overrightarrow A{D_1} $ $(4).$
Từ $(1)$ và $(3)$ suy ra $overrightarrow AP = alpha kvec a + (1 – alpha )vec b.$
Từ $(2)$ và $(4)$ suy ra $overrightarrow AP = beta overrightarrow a + (1 – beta )hoverrightarrow b .$
Vì $overrightarrow a $ và $overrightarrow b $ không cùng phương nên ta suy ra được $left {begin{array*{20l}
alpha k = beta \
1 – alpha = (1 – beta )h
endarray} right.$
Suy ra: $alpha = frac{1 – h}{1 – kh}.$
Vậy $overrightarrow AP = frac{k(1 – h)}{1 – kh}vec a + frac{h(1 – k)}{1 – kh}vec b.$
Ta lại có: $overrightarrow AC = overrightarrow AB + overrightarrow AD = vec a + vec b.$
Từ đó suy ra $overrightarrow PC = overrightarrow AC – overrightarrow AP $ $ = frac{1 – k}{1 – kh}overrightarrow a + frac{1 – h}{1 – kh}overrightarrow b .$
Hơn nữa: $overrightarrow {D_1D} = (1 – h)vec b = overrightarrow {C_1E} $, $overrightarrow {B_1B} = (1 – k)overrightarrow a = overrightarrow {C_1F} .$
Suy ra: $overrightarrow {C_1C} = overrightarrow {C_1E} + overrightarrow {C_1F} $ $ = (1 – k)overrightarrow a + (1 – h)overrightarrow b .$
Vậy $overrightarrow {C_1C} = (1 – kh)overrightarrow PC .$ Hay $C_1$, $C$, $P$ thẳng hàng tức là $C_1C$ đi qua $P.$
Do vậy $DB_1$, $D_1B$ và $CC_1$ đồng quy tại $P.$

Bài tập 4: Cho tứ giác $ABCD$ và điểm $M.$ Gọi $N$, $P$, $Q$, $R$ lần lượt là các điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm của các cạnh của tứ giác. Chứng minh rằng $MPQR$ là hình bình hành.

dung-phuong-phap-vecto-de-giai-mot-so-bai-toan-hinh-hoc-phang-4

Ta có:
$overrightarrow MA + overrightarrow MB = overrightarrow MN .$
$overrightarrow MB + overrightarrow MC = overrightarrow MP .$
$overrightarrow MC + overrightarrow MD = overrightarrow MQ .$
$overrightarrow MD + overrightarrow MA = overrightarrow MR .$
Từ đó suy ra:
$overrightarrow RN = overrightarrow MN – overrightarrow MR $ $ = overrightarrow MA + overrightarrow MB – overrightarrow MD – overrightarrow MA $ $ = overrightarrow MB – overrightarrow MD = overrightarrow DB .$
$overrightarrow QP = overrightarrow MP – overrightarrow MQ $ $ = overrightarrow MB + overrightarrow MC – overrightarrow MC – overrightarrow MD $ $ = overrightarrow MB – overrightarrow MD = overrightarrow DB .$
Vậy $overrightarrow RN = overrightarrow QP .$ Do đó $NPRQ$ là hình bình hành.

Bài 5: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $D$ là trung điểm của cạnh $BC.$ $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên cạnh $AC$ và $I$ là trung điểm của đoạn $DH.$ Chứng minh rằng $AI bot BH.$

dung-phuong-phap-vecto-de-giai-mot-so-bai-toan-hinh-hoc-phang-5

Ta có: $overrightarrow AI .overrightarrow BH $ $ = frac12(overrightarrow AD + overrightarrow AH ).(overrightarrow BD + overrightarrow DH )$ $ = quad frac12(overrightarrow AD .overrightarrow BD + overrightarrow AH .overrightarrow BD + overrightarrow AD .overrightarrow DH + overrightarrow AH .overrightarrow DH )$ $ = frac12(overrightarrow AH .overrightarrow BD + overrightarrow AD .overrightarrow DH )$ (vì $AD bot BD$ và $AH bot DH$ nên $overrightarrow AD .overrightarrow BD = overrightarrow AH .overrightarrow DH = 0$) $ = frac12left[ (overrightarrow {AD + overrightarrow DH )overrightarrow DC + overrightarrow AD .overrightarrow DH } right]$ $ = frac12(overrightarrow DH .overrightarrow DC + overrightarrow DH .overrightarrow AD )$ $ = frac12overrightarrow DH (overrightarrow AD + overrightarrow DC )$ $ = frac12overrightarrow DH .overrightarrow AC = 0.$
Vậy $overrightarrow AI .overrightarrow BH = 0$, do đó $AI bot BH.$

Nội dung bài 6: Cho tứ giác $ABCD.$ Hai đường chéo cắt nhau tại $O.$ Gọi $H$, $K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $ABO$ và tam giác $CDO.$ $I$, $J$ là trung điểm của $AD$ và $BC.$ Chứng minh rằng $HK bot IJ.$

dung-phuong-phap-vecto-de-giai-mot-so-bai-toan-hinh-hoc-phang-6

Ta có:
$overrightarrow IJ = overrightarrow IA + overrightarrow AB + overrightarrow BJ .$
$overrightarrow IJ = overrightarrow ID + overrightarrow DC + overrightarrow CJ .$
Suy ra: $overrightarrow IJ = frac12(overrightarrow AB + overrightarrow DC ).$
Khi đó: $overrightarrow HK .overrightarrow IJ = frac12(overrightarrow OK – overrightarrow OH )(overrightarrow AB + overrightarrow DC )$ $ = frac12(overrightarrow OK .overrightarrow AB + overrightarrow OK .overrightarrow DC – overrightarrow OH .overrightarrow AB – overrightarrow OH .overrightarrow DC )$ $ = frac12(overrightarrow OK .overrightarrow AB – overrightarrow OH .overrightarrow DC )$ $ = frac12left[ (overrightarrow {OC + overrightarrow CK )(overrightarrow OB – overrightarrow OA ) – (overrightarrow OA + overrightarrow AH )(overrightarrow OC – overrightarrow OD )} right]$ $ = frac12left[ (overrightarrow {OB – overrightarrow OA – overrightarrow AH )overrightarrow OC – (overrightarrow CK + overrightarrow OC – overrightarrow OD )overrightarrow OA } right]$ $ = frac12left[ (overrightarrow {HA + overrightarrow AO + overrightarrow OB )overrightarrow OC – (overrightarrow DO + overrightarrow OC + overrightarrow CK )overrightarrow OA } right]$ $ = frac12(overrightarrow HB .overrightarrow OC – overrightarrow DK .overrightarrow OA ) = 0.$
Vậy $HK bot IJ.$

Bài 7: Cho tam giác $ABC$ và đường phân giác trong $AD.$ Gọi $H$ là hình chiếu của $D$ lên $AB$, $K$ là hình chiếu của $D$ lên $AC.$ Biết $overrightarrow AB .overrightarrow AD = 2a^2$, $overrightarrow AC .overrightarrow AD = 3a^2$, $AH = a.$
a) Tính $AB$, $AC.$
b) Tính $overrightarrow AB .overrightarrow AC $ và cosin của góc giữa hai đường thẳng $AB$, $AC.$
c) Tính $AD$ và $BC.$

dung-phuong-phap-vecto-de-giai-mot-so-bai-toan-hinh-hoc-phang-7

a) Ta có:
$overrightarrow AB .overrightarrow AD = AB.AH = 2a^2.$
Suy ra: $AB = 2a.$
$overrightarrow AC .overrightarrow AD = AC.AK$ $ = AC.AH = 3a^2$ (vì $AK = AH$).
Suy ra: $AC = 3a.$
b) $frac{DB}{DC} = frac{AB}{AC} = frac23.$
Suy ra: $3overrightarrow DB + 2overrightarrow DC = vec 0$ $ Rightarrow 3(overrightarrow AB – overrightarrow AD ) + 2(overrightarrow AC – overrightarrow AD ) = vec 0$ $ Rightarrow 3overrightarrow AB + 2overrightarrow AC = 5overrightarrow AD $ $ Rightarrow 3overrightarrow AB .overrightarrow AC + 2overrightarrow {AC ^2} = 5overrightarrow AD .overrightarrow AC $ $ Rightarrow 3overrightarrow AB .overrightarrow AC = 5overrightarrow AD .overrightarrow AC – 2overrightarrow {AC ^2}$ $ Rightarrow overrightarrow AB .overrightarrow AC = frac{15{a^2 – 18a^2}}3 = – a^2.$
Gọi $alpha $ là góc giữa $AB$ và $AC$, ta có: $cos alpha = left| cos (overrightarrow {AB ,overrightarrow AC )} right|$ $ = frac{left .overrightarrow AC } right|}}{AB.AC} = frac{{a^2}}{2a.3a} = frac16.$
c) Vì $3overrightarrow AB + 2overrightarrow AC = 5overrightarrow AD .$
Suy ra $25AD^2 = 9AB^2 + 4AC^2 + 12overrightarrow AB .overrightarrow AC $ $ = 36a^2 + 36a^2 – 12a^2$ $ = 60a^2.$
Vậy $AD = frac{2asqrt {15 }}5.$
$BC^2 = overrightarrow {BC ^2} = (overrightarrow {AC – overrightarrow AB )^2}$ $ = AC^2 + AB^2 – 2overrightarrow AB .overrightarrow AC $ $ = 9a^2 + 4a^2 + 2a^2 = 15a^2.$
Vậy $BC = asqrt 15 .$

Hỏi và đáp