de thi toan 10 – Thư viện Đề thi và Kiểm tra Đề thi Toán Hình học lớp 8

Những bài tập mà KHODETHI Đề thi Toán Hình học lớp 8 xin thu thập lại quý bạn đọc về de thi toan 10, bài được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
THÁI NGUYÊN
ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2015
Môn: Toán – Lớp 10
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang)

(4 điểm)
Giải phương trình sau trên : .
(4 điểm)
Trên mặt phẳng cho trước hai điểm cố định M, N và tam giác ABC có Cho tam giác ABC chuyển động trượt trên mặt phẳng sao cho độ dài ba cạnh AB, BC, CA không đổi. Đường thẳng AB qua M và đường thẳng AC qua N. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
(4 điểm)
Cho số nguyên . Chứng minh rằng với số tùy ý thuộc thì ta luôn có
.
(4 điểm)
Cho các số nguyên dương với . Chứng minh rằng số các nghiệm nguyên dương của hệ bằng
(4 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu và đều chia hết cho số nguyên tố , mà là số nguyên dương nhỏ nhất thì chia hết cho
b) Tìm ước số nguyên tố của số , biết rằng

..…….……………….HẾT………………………

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
THÁI NGUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2015
Môn: TOÁN – LỚP 10
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Nội dung
Điểm

Bài 1. Giải phương trình sau trên :
4,0

Phương trình đã cho được viết lại

Đặt , thay vào ta được

1,0

Ta có

Vậy
1,0

Với , ta có

1,0

Với , ta có . Do và nên từ (3) ta được
Từ đó
Phương trình đã cho có các nghiệm .
1,0

Bài 2. Trên mặt phẳng cho trước hai điểm cố định M, N và tam giác ABC có Cho tam giác ABC chuyển động trượt trên mặt phẳng sao cho độ dài ba cạnh AB, BC, CA không đổi. Đường thẳng AB qua M và đường thẳng AC qua N. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
4,0

Từ giả thiết ta có 4 trường hợp:

1,0

Trong 2 trường hợp (1) và (2), do không đổi và M, N cố định nên đỉnh A chạy trên cung chứa góc vẽ trên đoạn MN.
Trong trường hợp (3) và (4), đỉnh A chạy trên cung chứa góc vẽ trên đoạn MN và khác phía với cung chứa góc nói trên.
Vậy A chạy trên đường tròn cố định.
1,0

Ta chỉ cần xét trường hợp (1), các trường hợp còn lại lập luận tương tự. Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn (O) tại I. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Từ I hạ . Vì bằng hoặc bù với không đổi và N cố định nên I cố định và không đổi.
Vậy BC tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I, bán kính .
2,0

Bài 3. Cho số nguyên . Chứng minh rằng với số tùy ý thuộc thì ta luôn có
4,0

Ta chứng minh bằng quy nạp
Với ta có . Suy ra
1,0

Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng với , ta chứng minh nó cũng đúng với
Lấy số . Xét hàm số , đây là hàm bậc nhất hoặc hàm hằng.
1,0

Ta có (do giả thiết quy nạp)

1,0

Từ đó suy ra . Đặc biệt , tức là ta có
hay
1,0

Bài 4. Cho các số nguyên dương với . Chứng minh rằng số các nghiệm nguyên dương của hệ bằng

4,0

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Số nghiệm nguyên dương của phương trình là
Thật vậy, ta xét n cái hộp (khác nhau) và a quả cầu giống nhau.

Mỗi nghiệm nguyên dương tương ứng với một sự phân bố a quả cầu này vào n cái hộp trên, trong đó hộp chứa quả cầu.
Ta biểu diễn a quả cầu này trên đường thẳng, a quả cầu này tạo ra khoảng trống giữa chúng. Hai hộp được ngăn cách nhau bởi vách ngăn (

Hỏi và đáp