De 77THTT – Thư viện Đề thi và Kiểm tra Đề thi Toán Hình học lớp 9

Sau đây kho đề thi Đề thi Toán Hình học lớp 9 xin thu thập lại quý bạn đọc về De 77THTT, bài được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

toán gửi Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Chuyên mục “Đề ra kỳ này”

187B GIẢNG VÕ, HÀ NỘI

Đề toán:

Tìm các tam giác có độ dài ba cạnh là các số nguyên dương và đường tròn nội tiếp có bán kính bằng 2.

Quy , ngày 01 tháng 03 năm 2010
Người gửi: BÙI VĂN CHI
Tp.Quy Nhơn, tỉnh Bình Định
ĐT: 0563828529
Email: buivanchi@yahoo.com

LƯỢC GIẢI :

Tìm độ dài các cạnh của tam giác

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác ABC là :
BC = a, CA = b, AB = c (a, b, c ( N*), đặt p = .
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O),
Ta có: AE = AF = x, BD = BF = y, CD = CE = z.
Khi đó: x = = p – a,
y = = p – b,
z = = p – c
Suy ra: x + y + z = (p – a) + (p – b) + (p – c) = 3p – (a + b + c) = 3p – 2p = p.
Từ hai công thức về diện tích tam giác suy ra:
S = pr = .
Thay r = 2 vào đẳng thức và rút gọn:
(p-a)(p-b)(p-c) = 4p ( xyz = 4(x+y+z) (1)
Do a, b, c ( N* nên từ các đẳng thức trên suy ra x, y, z đồng thời là các số nguyên dương hoặc nửa nguyên dương.
Nhận thấy nếu x có dạng m + (m ( N*) thì do x + y = c ( N* nên y có dạng n +
(n ( N*), x + z = b nên z có dạng k + (k ( N*).
Ta chứng minh x, y, z là các số nguyên dương bằng phản chứng. Giả sử:
, suy ra 2x, 2y, 2z là các số lẻ.

Biến đổi đẳng thức (1):
(1) ( 8xyz = 32(x + y + z) ( 2x.2y.2z = 16.2(x + y + z) = 16(a + b + c): điều này vô lý
vì vế trái là số lẻ còn vế phải là số chẵn.
Do đó x, y, z là các số nguyên dương.
Vì x, y, z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x ( y ( z ( 1.
Khi đó từ đẳng thức (1) ta có:
xyz = 4(x + y + z) ( 4.3x = 12x yz ( 12.
Mặt khác, xyz = 4(x + y + z) >4x yz > 4, do đó 5 ( yz ( 12.
+) Trước tiên ta xét chi tiết trường hợp yz = 5:
Với yz = 5 suy ra y = 5, z = 1 (do y ( z), ta có:
(1) ( 4(x + 5 + 1) = 5x ( x = 24, khi đó p = x + y + z = 24 + 5 + 1 = 30, ta có:
x = p – a ( 24 = 30 – a ( a = 6
y = p – b ( 5 = 30 – b ( b = 25
z = p – c ( 1 = 30 – c ( c = 29
Dễ dàng thử lại bộ giá trị ba cạnh của tam giác là: 6; 25; 29 thỏa mãn các điều kiện bài toán.
+) Các trường hợp còn lại của tích yz, kết hợp đẳng thức (1), ta lập bảng giá trị để tính x, y, z và a, b, c rồi chọn giá trị thích hợp:

yz
5
6
6
7
8
8
9
9
10
10
11
12
12
12

y
5
6
3
7
8
4
9
3
10
5
11
12
6
4

z
1
1
2
1
1
2
1
3
1
2
1
1
2
3

x
24
14
10

9
6
8

4

a
6
7
5
/
9
6
10
/
/
/
/
/
8
/

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.