Dấu của tam thức bậc hai

Những bài tập mà KHODETHI Kiến thức Bất đẳng thức và bất phương trình xin tổng hợp lại các bạn học sinh về Dấu của tam thức bậc hai, nội dung được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Bài viết hướng dẫn phương pháp xét dấu của tam thức bậc hai và cách giải các dạng toán liên quan đến tam thức bậc hai, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu bất đẳng thức và bất phương trình xuất bản trên KHODETHI.ORG.

A. LÝ THUYẾT VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Tam thức bậc hai:
• Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức dạng $a{x^2}+bx+c$, trong đó $a$, $b$, $c$ là Các số cho trước với $ane 0.$
• Nghiệm của phương trình $a{x^2}+bx+c=0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $fleft( x right)=a{x^2}+bx+c.$
• $Delta ={b^2}-4ac$ và $Delta’=b’^2-ac$ theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $fleft( x right)=a{x^2}+bx+c.$
2. Dấu của tam thức bậc hai:
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong các bảng sau:
Trường hợp 1: $Δ<0$ (tam thức bậc hai vô nghiệm).

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-1

Trường hợp 2: $Δ=0$ (tam thức bậc hai có nghiệm kép $x_0 = – fracb{2a}$).

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-2

Trường hợp 3: $Δ>0$ (tam thức bậc hai có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ $left( {x_1 < x_2} right)$).

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-3

Cho tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$, ta có:
• $ax^2 + bx + c > 0$, $forall x in R$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
a > 0\
Delta < 0
endarray right.$
• $ax^2 + bx + c ge 0$, $forall x in R$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
a > 0\
Delta le 0
endarray right.$
• $ax^2 + bx + c < 0$, $forall x in R$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
a < 0\
Delta < 0
endarray right.$
• $ax^2 + bx + c le 0$, $forall x in R$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl
a < 0\
Delta le 0
endarray right.$

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng toán 1. Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.
Phương pháp giải toán: Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.
• Đối với đa thức bậc cao $P(x)$ ta làm như sau:
+ Phân tích đa thức $Pleft( x right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất).
+ Lập bảng xét dấu của $Pleft( x right).$
• Đối với phân thức $fracP(x)Q(x)$ (trong đó $Pleft( x right)$, $Qleft( x right)$ là các đa thức) ta làm như sau:
+ Phân tích đa thức $Pleft( x right)$, $Qleft( x right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất).
+ Lập bảng xét dấu của $fracP(x)Q(x).$

Ví dụ 1. Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) $3{x^2}-2x+1.$
b) $-{x^2}+4x+5.$
c) $-4{x^2}+12x-9.$
d) $3{x^2}-2x-8.$
e) $25{x^2}+10x+1.$
f) $-2{x^2}+6x-5.$

a) Ta có $Delta’=-2<0$, $a=3>0$ suy ra $3{x^2}-2x+1>0$, $forall xin mathbbR.$
b) Ta có $ – x^2 + 4x + 5 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array*{20c}
x = – 1\
x = 5
endarray} right.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-4

Suy ra $-{x^2}+4x+5>0$ $Leftrightarrow xin left( -1;5 right)$ và $-{x^2}+4x+5<0$ $Leftrightarrow xin left( -infty ;-1 right)cup left( 5;+infty right).$
c) Ta có $Delta’=0$, $a<0$ suy ra $-4{x^2}+12x-9<0$, $forall xin mathbbRbackslash left frac{32 right}.$
d) Ta có $3{x^2}-2x-8=0$ $Leftrightarrow left[ beginmatrix
x=2 \
x=-frac43 \
endmatrix right.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-5

Suy ra $3{x^2}-2x-8>0$ $Leftrightarrow xin left( -infty ;-frac43 right)cup left( 2;+infty right)$ và $3{x^2}-2x-8<0$ $Leftrightarrow xin left( -frac43;2 right).$
e) Ta có $Delta’=0$, $a>0$ suy ra $25{x^2}+10x+1>0$, $forall xin mathbbRbackslash left -frac{15 right}.$
f) Ta có $Delta’=-1<0$, $a<0$ suy ra $-2{x^2}+6x-5<0$, $forall xin mathbbR.$

Ví dụ 2. Tùy theo giá trị của tham số $m$, hãy xét dấu của các biểu thức $f(x)={x^2}+2mx+3m-2.$

Tam thức $f(x)$ có $a=1>0$ và $Delta’={m^2}-3m+2.$
• Nếu $1<m<2$ $Rightarrow Delta'<0$ $Rightarrow f(x)>0$, $forall xin R.$
• Nếu $left[ beginalign
& m=1 \
& m=2 \
endalign right.$ $Rightarrow Delta’=0$ $Rightarrow f(x)ge 0$, $forall xin R$ và $f(x)=0$ $Leftrightarrow x=-m.$
• Nếu $left[ beginalign
& m>2 \
& m<1 \ endalign right.$ $Rightarrow Delta’>0$ $Rightarrow f(x)$ có hai nghiệm: ${x_1}=-m-sqrt{{m^2}-3m+2}$ và ${x_2}=-m+sqrt{{m^2}-3m+2}$. Khi đó:
+ $f(x)>0$ $Leftrightarrow xin (-infty ;{x_1})cup ({x_2};+infty ).$
+ $f(x)<0$ $Leftrightarrow xin ({x_1};{x_2}).$

Ví dụ 3. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) $left( -{x^2}+x-1 right)left( 6{x^2}-5x+1 right).$
b) $frac{{x^2}-x-2}-{{x^2}+3x+4}.$
c) ${x^3}-5x+2.$
d) $x-frac{{x^2}-x+6}-{{x^2}+3x+4}.$

a) Ta có:
$-{x^2}+x-1=0$ vô nghiệm.
$6{x^2}-5x+1=0$ $Leftrightarrow x=frac12$ hoặc $x=frac13.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-6

Suy ra $left( -{x^2}+x-1 right)left( 6{x^2}-5x+1 right)$ dương khi và chỉ khi $xin left( frac13;frac12 right)$, $left( -{x^2}+x-1 right)left( 6{x^2}-5x+1 right)$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;frac13 right)cup left( frac12;+infty right).$
b) Ta có:
${x^2}-x-2=0$ $Leftrightarrow left[ beginmatrix
x=-1 \
x=2 \
endmatrix right.$
$-{x^2}+3x+4=0$ $Leftrightarrow left[ beginmatrix
x=-1 \
x=4 \
endmatrix right.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-7

Suy ra $frac{{x^2}-x-2}-{{x^2}+3x+4}$ dương khi và chỉ khi $xin left( 2;4 right)$, $frac{{x^2}-x-2}-{{x^2}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;-1 right)cup left( -1;2 right)cup left( 4;+infty right).$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push();
c) Ta có:
${x^3}-5x+2=left( x-2 right)left( {x^2}+2x-1 right).$
${x^2}+2x-1=0Leftrightarrow x=-1pm sqrt2.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-8

Suy ra ${x^3}-5x+2$ dương khi và chỉ khi $xin left( -1-sqrt2;-1+sqrt2 right)cup left( 2;+infty right)$, ${x^3}-5x+2$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;-1-sqrt2 right)cup left( -1+sqrt2;2 right).$
d) Ta có:
$x-frac{{x^2}-x+6}-{{x^2}+3x+4}$ $=frac-{{x^3}+2{x^2}+5x-6}-{{x^2}+3x+4}$ $=fracleft( x-1 right)left( -{{x^2}+x+6 right)}-{{x^2}+3x+4}.$
$-{x^2}+x+6=0$ $Leftrightarrow left[ beginmatrix
x=-2 \
x=3 \
endmatrix right.$
$-{x^2}+3x+4=0$ $Leftrightarrow left[ beginmatrix
x=-1 \
x=4 \
endmatrix right.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-9

Suy ra $x-frac{{x^2}-x+6}-{{x^2}+3x+4}$ dương khi và chỉ khi $xin left( -2;-1 right)cup left( 1;3 right)cup left( 4;+infty  right)$, $x-frac{{x^2}-x+6}-{{x^2}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;-2 right)cup left( -1;1 right)cup left( 3;4 right).$

Dạng toán 2. Bài chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì:
a) Phương trình $m{x^2}-left( 3m+2 right)x+1=0$ luôn có nghiệm.
b) Phương trình $left( {m^2}+5 right){x^2}-left( sqrt3m-2 right)x+1=0$ luôn vô nghiệm.

a)
Với $m=0$ phương trình trở thành $-2x+1=0$ $Leftrightarrow x=frac12$ suy ra phương trình có nghiệm.
Với $mne 0$, ta có $Delta ={left( 3m+2 right)^2}-4m$ $=9{m^2}+8m+4.$
Vì tam thức $9{m^2}+8m+4$ có ${a_m}=9>0$, $Delta’_m=-20<0$ nên $9{m^2}+8m+4>0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi $m.$
b) Ta có $Delta ={left( sqrt{3m-2 right)}^2}-4left( {m^2}+5 right)$ $=-{m^2}-4sqrt3m-16.$
Vì tam thức $-{m^2}-4sqrt3m-8$ có ${a_m}=-1<0$, $Delta’_m=-4<0$ nên $-{m^2}-4sqrt3m-8<0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi $m.$

Ví dụ 5. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn âm:
a) $fleft( x right)=m{x^2}-x-1.$
b) $gleft( x right)=left( m-4 right){x^2}+left( 2m-8 right)x+m-5.$

a)
Với $m=0$ thì $fleft( x right)=-x-1$ lấy cả giá trị dương (chẳng hạn $fleft( -2 right)=1$) nên $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $mne 0$ thì $fleft( x right)=m{x^2}-x-1$ là tam thức bậc hai, do đó: $fleft( x right)<0$, $forall x$ $Leftrightarrow left begin{matrix
a=m<0 \
Delta =1+4m<0 \
endmatrix right.$ $Leftrightarrow left begin{matrix
m<0 \
m>-frac14 \
endmatrix right.$ $Leftrightarrow -frac14<m<0.$
Vậy với $-frac14<m<0$ thì biểu thức $fleft( x right)$ luôn âm.
b)
Với $m=4$ thì $gleft( x right)=-1<0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $mne 4$ thì $gleft( x right)=left( m-4 right){x^2}+left( 2m-8 right)x+m-5$ là tam thức bậc hai, do đó: $gleft( x right)<0$, $forall x$ $Leftrightarrow left begin{matrix
a=m-4<0 \
Delta’={left( m-4 right)^2}-left( m-4 right)left( m-5 right)<0 \
endmatrix right.$ $Leftrightarrow left begin{matrix
m<4 \
m-4<0 \
endmatrix right.$ $Leftrightarrow m<4.$
Vậy với $mle 4$ thì biểu thức $gleft( x right)$ luôn âm.

Ví dụ 6. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn dương:
a) $hleft( x right)=frac-{{x^2}+4left( m+1 right)x+1-4{m^2}}-4{{x^2}+5x-2}.$
b) $kleft( x right)=sqrt{{x^2}-x+m}-1.$

a) Tam thức $-4{x^2}+5x-2$ có $a=-4<0$, $Delta =-7<0$ suy ra $-4{x^2}+5x-2<0$, $forall x.$
Do đó $hleft( x right)$ luôn dương khi và chỉ khi $-{x^2}+4left( m+1 right)x+1-4{m^2}$ luôn âm $Leftrightarrow left begin{matrix
a=-1<0 \
Delta’=4{left( m+1 right)^2}+left( 1-4{m^2} right)<0 \
endmatrix right.$ $Leftrightarrow 8m+5<0$ $Leftrightarrow m<-frac58.$
Vậy với $m<-frac58$ thì biểu thức $hleft( x right)$ luôn dương.
b) Biểu thức $kleft( x right)$ luôn dương $Leftrightarrow sqrt{{x^2}-x+m}-1>0$ $Leftrightarrow sqrt{{x^2}-x+m}>1$ $Leftrightarrow {x^2}-x+m>0$, $forall x$ $Leftrightarrow left begin{matrix
a=1>0 \
Delta =1-4m<0 \
endmatrix right.$ $Leftrightarrow m>frac14.$
Vậy với $m>frac14$ thì biểu thức $kleft( x right)$ luôn dương.

Ví dụ 7. Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là $mathbbR$ với mọi giá trị của $m.$
a) $y=fracmxleft( 2{{m^2}+1 right){x^2}-4mx+2}.$
b) $y=sqrtfrac{2{{x^2}-2left( m+1 right)x+{m^2}+1}{{m^2}{x^2}-2mx+{m^2}+2}}.$

a) Điều kiện xác định: $left( 2{m^2}+1 right){x^2}-4mx+2ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $fleft( x right)=left( 2{m^2}+1 right){x^2}-4mx+2$, ta có: $a=2{m^2}+1>0$, $Delta’=4{m^2}-2left( 2{m^2}+1 right)=-2<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $fleft( x right)=left( 2{m^2}+1 right){x^2}-4mx+2>0$, $forall xin mathbbR.$
Do đó với mọi $m$ ta có $left( 2{m^2}+1 right){x^2}-4mx+2ne 0$, $forall xin mathbbR.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=mathbbR.$
b) Điều kiện xác định: $frac2{{x^2}-2left( m+1 right)x+{m^2}+1}{{m^2}{x^2}-2mx+{m^2}+2}ge 0$ và ${m^2}{x^2}-2mx+{m^2}+2ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $fleft( x right)=2{x^2}-2left( m+1 right)x+{m^2}+1$, ta có: ${a_f}=2>0$, ${Delta _f}’={left( m+1 right)^2}-2left( {m^2}+1 right)$ $=-{m^2}+2m-1$ $=-{left( m-1 right)^2}le 0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $fleft( x right)=2{x^2}-2left( m+1 right)x+{m^2}+1ge 0$, $forall xin mathbbR$ $(1).$
Xét tam thức bậc hai $gleft( x right)={m^2}{x^2}-2mx+{m^2}+2.$
+ Với $m=0$ ta có $gleft( x right)=2>0.$
+ Với $mne 0$ ta có ${a_g}={m^2}>0$, ${Delta _g}’={m^2}-{m^2}left( {m^2}+2 right)$ $=-{m^2}left( {m^2}+1 right)<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $gleft( x right)={m^2}{x^2}-2mx+{m^2}+2>0$, $forall xin mathbbR$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra với mọi $m$ thì $frac2{{x^2}-2left( m+1 right)x+{m^2}+1}{{m^2}{x^2}-2mx+{m^2}+2}ge 0$ và ${m^2}{x^2}-2mx+{m^2}+2ne 0$ đúng với mọi giá trị của $x.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=mathbbR.$

Hỏi và đáp