Đẳng thức và bất đẳng thức ptolemy và điểm Toricelli trong bồi dưỡng hình học cho HSG lớp 9 để nâng cao – Thư viện Đề thi và Kiểm tra Đề thi Toán Hình học lớp 9

Nội dung bài được KHODETHI.ORG Đề thi Toán Hình học lớp 9 xin tổng hợp lại các sĩ tử về Đẳng thức và bất đẳng thức ptolemy và điểm Toricelli trong bồi dưỡng hình học cho HSG lớp 9 để nâng cao, dữ liệu được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Nội dung
Trang

Đẳng thức Ptô-lê-mê:

Bất đẳng thức tam giác?

BĐT Ptoleme tổng quát

Hệ quả BĐT Ptoleme

Ứng dụng

Ứng dụng định lý mở rộng

Mở rộng định lý và BĐT

Ptoleme và tứ giác điều hòa

Ứng dụng không hình học

Bài Tập Có Giải

Bài Tập Tự Giải

Tư Liệu Tham Khảo

Đẳng thức Ptô-lê-mê:
Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . Khi đó:

Chứng minh:
Do từ đẳng thức : AB.CD + AD.BC = AC.DB ta có thể tách AC ra hai đoạn có M ở giữa.
Như vậy có thể viết lại : AB.CD + AD.BC = (AM + MC).DB
Ta có thể viết lại như sau : AB.CD + AD.BC = AM.DB + MC.DB
Vậy ta có khả năng nhận định : AB.CD = AM.DB và AD.BC = MC.DB
=vậy cần chứng minh : ∆ABM ~ ∆DBC.
=vậy cần chứng minh : ∆ADB ~ ∆MCB.
Vậy:
Ta phải lấy điểm thuộc đường chéo sao cho các tam giác : ∆ADB ~ ∆MCB.
Khi đó : chọn M sao cho góc : = Khi đó xét và
Ta có: = (góc cùng chắn cung AB) .
= (giả thuyết) Nên đồng dạng với
Do đó ta có: .

Ta lại xét 02 tam giác ngược lại là ∆ABM ~ ∆DBC
Ta có:
Góc : = (góc cùng chắn cung BC) (*).
Do góc : = (do ∆ADB ~ ∆MCB).
Nên : + = + (=> +) (**)
Từ (*) và (**) nên ∆ABM ~ ∆DBC (g-g).
Suy ra hay Từ và suy ra: Vậy đẳng thức Ptô-lê-mê được chứng minh.
Bất đẳng thức Ptoleme là hệ quả của bất đẳng thức tam giác?  
Ai cũng biết bất đẳng thức tam giác: Với A, B, C là ba điểm bất kỳ trên mặt phẳng, ta có AB+AC ≥ BC (1).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C. Nói cách khác  với k là một số thực dương.
Trong khi đó, bất đẳng thức Ptoleme khẳng định: Với 4 điểm A, B, C, D bất kỳ trên mặt phẳng, ta có  
Rõ ràng, theo một quan điểm nào đó thì bất đẳng thức Ptoleme chính là mở rộng của bất đẳng thức tam giác. Vì sao vậy? Xin giải thích lý do: 
Chia hai vế của (2) cho BD, ta được:
Nếu chọn D “đủ xa” thì từ đây ta sẽ suy ra
Điều này nghe cũng ngạc nhiên, tuy nhiên lợi ích đem lại của sự đặc biệt hoá này không nhiều, vì chẳng lẽ lại dùng bất đẳng thức Ptoleme cao siêu để chứng minh bất đẳng thức tam giác vốn được coi như tiên đề? 
Tuy nhiên, một logich rất tự nhiên dẫn chúng ta đến một ý tưởng hữu ích hơn: Như vậy bất đẳng thức Ptoleme có liên quan đến bất đẳng thức tam giác. Vậy có thể là bất đẳng thức Ptoleme có thể được chứng minh nhờ vào bất đẳng thức tam giác? Điều này quả là như vậy. Ba phép chứng minh tiêu biểu dưới đây sẽ minh chứng cho luận điểm này: 
Cách chứng minh thứ nhất: Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác. 

Trong lấy điểm M sao cho: .
Chỉ cần vẽ BM sao cho tạo với đường thẳng BC một góc bằng ABD.
Chỉ cần vẽ CM sao cho tạo với đường thẳng CB một góc bằng ADB.
Hai đường thẳng cắt nhau tại M. Dễ dàng chứng minh:

Vậy : BD.CM = AD.CB (1).
Do :
Ta lại xét 02 tam giác ngược lại là ∆ABM ~ ∆DBC
Ta có:
Do góc : = (do ∆ADB ~ ∆MCB).
Nên : + = + (=> +)
Và cặp tỉ số : = do 02 tam giác : ∆ADB ~ ∆MCB vừa chứng minh.
Nên : ∆ABM ~ ∆DBC
Vậy : “BD.AM = AB.CD” (2).
Cộng (1) và (2) vế với vế ta được :
BD.(CM+AM) = AD.BC + AB.CD (3).
Từ (3) Áp dụng bất đẳng thức trong tam

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.