Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Những bài tập mà kho đề thi Kiến thức Vector xin thu thập lại các sĩ tử về Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, nội dung được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Hình học 10 chương 1.

Phương pháp giải toán: Sử dụng quy tắc ba điểm phối hợp với các tính chất của các phép toán vectơ để biểu thị vectơ cần biểu diễn theo hai vectơ không cùng phương cho trước.

Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O.$ Đặt $overrightarrow AO = overrightarrow a $, $overrightarrow BO = overrightarrow b .$ Hãy biểu diễn các vectơ $overrightarrow AB $, $overrightarrow BC $, $overrightarrow CD $ và $overrightarrow DA $ theo hai vectơ $overrightarrow a $, $overrightarrow b .$

Ta có:
$overrightarrow AB = overrightarrow OB – overrightarrow OA = vec a – vec b.$
$overrightarrow BC = overrightarrow BO + overrightarrow OC = vec b + vec a.$
$overrightarrow CD = – overrightarrow AB = overrightarrow b – overrightarrow a .$
$overrightarrow DA = – overrightarrow BC = – overrightarrow b – overrightarrow a .$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm là $G$, $H$ là điểm đối xứng của $B$ qua $G.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Đặt $overrightarrow AB = overrightarrow b $, $overrightarrow AC = overrightarrow c $. Biểu thị các vectơ $overrightarrow AH $, $overrightarrow CH $ và $overrightarrow MH $ theo $overrightarrow b $ và $overrightarrow c .$

bieu-thi-mot-vecto-theo-hai-vecto-khong-cung-phuong-1

Ta có: $overrightarrow AH + overrightarrow AB = 2overrightarrow AG .$
Suy ra: $overrightarrow AH = – overrightarrow AB + frac43overrightarrow AM $ $ = – overrightarrow AB + frac23(overrightarrow AB + overrightarrow AC )$ $ = – frac13overrightarrow AB + frac23overrightarrow AC .$
Vậy: $overrightarrow AH = – frac13overrightarrow b + frac23overrightarrow c .$
Tương tự:
$overrightarrow CH = frac23overrightarrow CA – frac13overrightarrow CB $ $ = – frac23overrightarrow AC – frac13(overrightarrow AB – overrightarrow AC )$ $ = – frac13overrightarrow AB – frac13overrightarrow AC $ $ = – frac13(overrightarrow b + vec c).$
$overrightarrow MH = overrightarrow MC + overrightarrow CH $ $ = frac12overrightarrow BC – frac13(vec b + vec c)$ $ = frac12(overrightarrow AC – overrightarrow AB ) – frac13(overrightarrow b + overrightarrow c )$ $ = frac12(overrightarrow c – vec b) – frac13(vec b + vec c)$ $ = – frac56vec b + frac16overrightarrow c .$

Ví dụ 3: Cho hình bình hành $ABCD$ có $M$, $N$ là trung điểm của các cạnh $DC$, $DA.$ Đặt $overrightarrow AM = vec a$, $overrightarrow BN = vec b.$ Biểu diễn các vectơ $overrightarrow AB $, $overrightarrow BC $, $overrightarrow CD $, $overrightarrow DA $, $overrightarrow AC $, $overrightarrow BD $ theo hai vectơ $overrightarrow a $, $overrightarrow b .$

bieu-thi-mot-vecto-theo-hai-vecto-khong-cung-phuong-2

Ta có:
$overrightarrow AM = overrightarrow AD + overrightarrow DM $ $ = overrightarrow AD + frac12overrightarrow AB .$
$overrightarrow BN = overrightarrow AN – overrightarrow AB $ $ = frac12overrightarrow AD – overrightarrow AB .$
Từ đó: $left {begin{array*{20l}
overrightarrow {AD + frac12overrightarrow AB = vec a}\
frac{12overrightarrow AD – overrightarrow AB = vec b}
endarray} right.$
Giải hệ phương trình này ta được:
$overrightarrow AB = frac23overrightarrow a – frac45overrightarrow b .$
$overrightarrow AD = frac45overrightarrow a + frac25overrightarrow b .$
Như vậy:
$overrightarrow AB = frac25overrightarrow a – frac45overrightarrow b .$
$overrightarrow BC = overrightarrow AD = frac45overrightarrow a + frac25overrightarrow b .$
$overrightarrow CD = – overrightarrow AB = – frac25overrightarrow a + frac45overrightarrow b .$
$overrightarrow AD = – frac45overrightarrow a – frac25overrightarrow b .$
$overrightarrow AC = overrightarrow AB + overrightarrow AD = frac65overrightarrow a – frac25vec b.$
$overrightarrow BD = overrightarrow AD – overrightarrow AB = frac25vec a + frac65vec b.$

Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC.$ Gọi $I$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $2CI = 3BI$, gọi $J$ là điểm trên phần kéo dài của cạnh $BC$ sao cho $5JB = 2JC.$
a) Tính $overrightarrow AI $, $overrightarrow AJ $ theo $overrightarrow AB $ và $overrightarrow AC .$
b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Tính $overrightarrow AG $ theo $overrightarrow AI $ và $overrightarrow AJ .$

bieu-thi-mot-vecto-theo-hai-vecto-khong-cung-phuong-3

a) Vì $I$ nằm trên cạnh $BC$ và $2CI = 3BI$ nên $2overrightarrow CI + 3overrightarrow BI = vec 0.$
$ Rightarrow 2(overrightarrow CA + overrightarrow AI ) + 3(overrightarrow BA + overrightarrow AI ) = vec 0. $
$ Rightarrow 5overrightarrow AI = 2overrightarrow AC + 3overrightarrow AB .$
$ Rightarrow overrightarrow AI = frac25overrightarrow AC + frac35overrightarrow AB .$
Vì $J$ nằm trên phần kéo dài của cạnh $BC$ và $5JB = 2JC$ nên $5overrightarrow JB = 2overrightarrow JC .$
$ Rightarrow 5(overrightarrow JA + overrightarrow AB ) = 2(overrightarrow JA + overrightarrow AC ).$
$ Rightarrow 3overrightarrow AJ = 5overrightarrow AB – 2overrightarrow AC .$
$ Rightarrow overrightarrow AJ = frac53overrightarrow AB – frac23overrightarrow AC .$
b) Theo kết quả trên ta có:
$left {begin{array*{20l}
overrightarrow {AI = frac35overrightarrow AB + frac25overrightarrow AC }\
overrightarrow {AJ = frac53overrightarrow AB – frac23overrightarrow AC }
endarray} right.$
Từ đó suy ra: $left {begin{array*{20l}
overrightarrow {AB = frac58overrightarrow AI + frac38overrightarrow AJ }\
overrightarrow {AC = frac{25}{16}overrightarrow AI – frac9{16}overrightarrow AJ }
endarray} right.$
Ta lại có: $overrightarrow AG = frac23overrightarrow AM $ (với $M$ là trung điểm của $BC$) $ = frac13(overrightarrow AB + overrightarrow AC )$ $ = frac13left( frac{58overrightarrow AI + frac38overrightarrow AJ + frac{25}{16}overrightarrow AI – frac9{16}overrightarrow AJ } right)$ $ = frac{35}{48}overrightarrow AI – frac1{16}overrightarrow AJ .$

Bài tập rèn luyện:
Bài tập 1: Cho tam giác $ABC$, $N$ là điểm sao cho $overrightarrow CN = frac12overrightarrow BC .$ $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Biểu thị $overrightarrow AC $ theo $overrightarrow AG $ và $overrightarrow AN .$

Bài tập 2: Cho tam giác $ABC$ có $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $CA$ và $AB.$ Đặt $overrightarrow BE = vec a$, $overrightarrow CF = vec b.$ Biểu diễn các vectơ $overrightarrow AB $, $overrightarrow BC $, $overrightarrow CA $ và $overrightarrow AD $ theo $overrightarrow a $ và $overrightarrow b .$

Nội dung bài 3: Cho tam giác $ABC$, $I$ là điểm trên phần kéo dài của $AB$ sao cho $IA = 2IB$, $J$ là điểm nằm trên cạnh $AC$ sao cho $3JA = 2JC.$ Biểu thị vectơ $IJ$ theo $overrightarrow AB = overrightarrow b $ và $overrightarrow AC = vec c.$

Bài 4: Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, $I$ là trung điểm của $BO$, $G$ là trọng tâm tam giác $OCD.$ Biểu thị các vectơ $overrightarrow AI $, $overrightarrow BG $ theo $overrightarrow AB = vec a$ và $overrightarrow AD = vec b.$

Nội dung bài 5: Cho tam giác $ABC.$ Gọi $H$ là điểm đối xứng của trọng tâm $G$ qua $B.$
a) Chứng minh rằng: $overrightarrow HA – 5overrightarrow HB + overrightarrow HC = vec 0.$
b) Đặt $overrightarrow AG = vec a$, $overrightarrow AH = vec b.$ Tính $overrightarrow AB $, $overrightarrow AC $ theo $overrightarrow a $ và $overrightarrow b .$

Nội dung bài 6: Cho lục giác đều $ABCDEF.$ Đặt $overrightarrow u = overrightarrow AB $, $overrightarrow v = overrightarrow AF .$ Biểu thị các vectơ $overrightarrow BC $, $overrightarrow CD $, $overrightarrow DE $, $overrightarrow EF $, $overrightarrow AC $, $overrightarrow AD $, $overrightarrow AE $, $overrightarrow BD $, $overrightarrow BE $, $overrightarrow BF $, $overrightarrow CE $, $overrightarrow CF $, $overrightarrow DF $ theo $vec u$ và $overrightarrow v .$

Bài tập 7: Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M$, $N$, $E$, $F$ là các điểm sao cho $overrightarrow AM = poverrightarrow AB $, $overrightarrow DN = poverrightarrow DC $, $overrightarrow AE = qoverrightarrow AD $, $overrightarrow BF = qoverrightarrow BC .$ $MN$ cắt $EF$ tại $O.$ Tính $overrightarrow EF $ theo $overrightarrow EM $ và $overrightarrow EN .$

Bài tập 8: Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $M$, $N$ là các điểm nằm trên đoạn $AB$ và $CD$ sao cho $AM = frac13AB$, $CN = frac12DC.$
a) Tính $overrightarrow AN $ theo $overrightarrow AB = overrightarrow a $, $overrightarrow AC = overrightarrow b .$
b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNB.$ Tính $overrightarrow AG $ theo $overrightarrow a $, $overrightarrow b .$
c) Gọi $I$, $J$ lần lượt là các điểm xác định bởi $overrightarrow BI = moverrightarrow BC $, $overrightarrow AJ = noverrightarrow AI .$ Tính $overrightarrow AI $, $overrightarrow AJ $ theo $overrightarrow a $, $overrightarrow b $ và $m$, $n.$
d) Xác định $m$ để $AI$ đi qua $G.$
e) Xác định $m$, $n$ để $J$ là trọng tâm tam giác $BMN.$

Hỏi và đáp