Bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Nội dung bài được KHODETHI.ORG Kiến thức Hàm số xin tổng hợp lại bạn đọc về Bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, nội dung được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

KHODETHI.ORG giới thiệu bài viết hướng dẫn giải bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số trong chương trình Giải tích 12 chương 1.

A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA
I. TIỆM CẬN ĐỨNG
Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
$mathop lim limits_x to x_0^ – f(x) = + infty .$
$mathop lim limits_x to x_0^ + f(x) = + infty .$
$mathop lim limits_x to x_0^ – f(x) = – infty .$
$mathop lim limits_x to x_0^ + f(x) = – infty .$
II. TIỆM CẬN NGANG
Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
$mathop lim limits_x to + infty y = y_0.$
$mathop lim limits_x to – infty y = y_0.$
III. TIỆM CẬN XIÊN
Đường thẳng $y = ax + b$ $(a ne 0)$ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
$mathop lim limits_x to + infty left[ f(x) – (ax + b) right] = 0.$
$mathop lim limits_x to – infty left[ f(x) – (ax + b) right] = 0.$
Chú ý: Để xác định các hệ số $a$, $b$ trong phương trình của tiệm cận xiên ta có thể áp dụng các công thức sau:
$a = mathop lim limits_x to + infty frac{f(x)}x$ $(a ne 0)$, $b = mathop lim limits_x to + infty [f(x) – ax]$ hoặc $a = mathop lim limits_x to – infty frac{f(x)}x$ $(a ne 0)$, $b = mathop lim limits_x to – infty [f(x) – ax].$
Nếu $a = 0$ thì ta có tiệm cận ngang.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
1. PHƯƠNG PHÁP
+ Tìm tập xác định.
+ Tìm các giới hạn: $mathop lim limits_x to x_0^ + left( {x_0^ – right)} f(x)$ trong đó $x_0$ là các điểm đầu khoảng xác định.
+ Nếu một trong giới hạn trên bằng $ pm infty $ thì đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ: Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = frac{3x – 7}{4x – 4}.$
b) $y = frac{3x – 8}{{x^2 – 3x + 2}}.$
c) $y = frac{2x + 5}{sqrt {x – 3 }}.$
d) $y = frac{x – 3}{{x^2 + 9}}.$
e) $y = frac{x – 2}{{x^2 – 3x + 2}}.$

a) Tập xác định: $D = Rbackslash left 1 right.$
$mathop lim limits_x to {1^ + } y = mathop lim limits_x to {1^ + } frac{3x – 7}{4x – 4} = – infty $ và $mathop lim limits_x to {1^ – } y = mathop lim limits_x to {1^ – } frac{3x – 7}{4x – 4} = + infty .$
Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là $x = 1.$
b) Tập xác định: $D = Rbackslash 1;2 .$
$mathop lim limits_x to {1^ – } y = mathop lim limits_x to {1^ – } frac{3x – 8}{(x – 1)(x – 2)} = – infty $ và $mathop lim limits_x to {1^ + } y = mathop lim limits_x to {1^ + } frac{3x – 8}{(x – 1)(x – 2)} = + infty .$
$ Rightarrow x = 1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị.
$mathop lim limits_x to {2^ – } y = mathop lim limits_x to {2^ – } frac{3x – 8}{(x – 1)(x – 2)} = + infty $ và $mathop lim limits_x to {2^ + } y = mathop lim limits_x to {2^ + } frac{3x – 8}{(x – 1)(x – 2)} = – infty .$
$ Rightarrow x = 1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị.
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x = 1$ và $x = 2.$
c) Tập xác định: $D = (3; + infty ).$
$mathop lim limits_x to {3^ + } y = mathop lim limits_x to {3^ + } frac{2x + 5}{sqrt {x – 3 }} = + infty $ $ Rightarrow x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Chú ý: Vì tập xác định là $(3; + infty )$ nên ta chỉ xét giới hạn khi $x to 3^ + .$
d) Tập xác định: $D = R.$
Vì tập xác định của hàm số là $R$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
e) Tập xác định: $D = Rbackslash 1;2 .$
$mathop lim limits_x to {1^ + } y = mathop lim limits_x to {1^ + } frac{x – 2}{{x^2 – 3x + 2}}$ $ = mathop lim limits_x to {1^ + } frac1{x – 1} = + infty .$
$mathop lim limits_x to {1^ – } y = mathop lim limits_x to {1^ – } frac{x – 2}{{x^2 – 3x + 2}}$ $ = mathop lim limits_x to {1^ – } frac1{x – 1} = – infty .$
Nên $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$mathop lim limits_x to 2 y = mathop lim limits_x to 2 frac{x – 2}{{x^2 – 3x + 2}}$ $ = mathop lim limits_x to 2 frac1{x – 1} = 1.$
Nên $x = 2$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là $x = 1.$

Vấn đề 2: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1. PHƯƠNG PHÁP
+ Tìm tập xác định.
+ Tìm các giới hạn: $mathop lim limits_x to + infty ( – infty ) f(x).$
+ Nếu một trong giới hạn trên bằng $b$ thì đường thẳng $y = b$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2. VÍ DỤ
Ví dụ: Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = frac{{x^2 + 2x + 3}}{5 – 4x – {x^2}}.$
b) $y = frac{sqrt {{x^2 – 1} + 5x + 3}}{2x + 2}.$

a) Tập xác định: $D = Rbackslash 1; – 5 .$
$mathop lim limits_x to pm infty y = mathop lim limits_x to pm infty frac{{x^2 + 2x + 3}}{5 – 4x – {x^2}}$ $ = mathop lim limits_x to pm infty frac{1 + frac{2x + frac3{{x^2}}}}{frac{5{{x^2}} – frac4x – 1}} = – 1.$
Suy ra đường $y = -1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Tập xác định: $D = ( – infty ; – 1) cup [1; + infty ).$
$mathop lim limits_x to + infty y = mathop lim limits_x to + infty frac{sqrt {{x^2 – 1} + 5x + 3}}{2x + 2}$ $ = mathop lim limits_x to + infty frac{sqrt {1 – frac{1{{x^2}}} + 5 + frac3x}}{2 + frac{2x}} = 3.$
Suy ra đường $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị khi $x to + infty .$
$mathop lim limits_x to – infty y = mathop lim limits_x to – infty frac{sqrt {{x^2 – 1} + 5x + 3}}{2x + 2}$ $ = mathop lim limits_x to – infty frac{ – sqrt {1 – frac{1{{x^2}}} + 5 + frac3x}}{2 + frac{2x}} = 2.$
Suy ra đường $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị khi $x to – infty .$

Vấn đề 3: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
1. PHƯƠNG PHÁP
+ Tìm tập xác định.
+ Tìm các giới hạn:
Nếu $f(x) = ax + b + fracc{mx + n}$ thì $mathop lim limits_x to pm infty [f(x) – (ax + b)] = 0$ nên $y = ax + b$ là tiệm cận xiên (hay ngang) của đồ thị hàm số.
+ Nếu $f(x)$ chưa viết được như trên thì ta tìm $a$, $b$ theo cách sau:
$a = mathop lim limits_x to + infty frac{f(x)}x$ $(a ne 0)$, $b = mathop lim limits_x to + infty [f(x) – ax]$ hoặc $a = mathop lim limits_x to – infty frac{f(x)}x$ $(a ne 0)$, $b = mathop lim limits_x to – infty [f(x) – ax].$
Chú ý: Nếu $a = 0$ thì ta có đường tiệm cận tìm được là tiệm cận ngang.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ: Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = 4x + 5 + frac7{2x – 8}.$
b) $y = sqrt {x^2 – 4x} + 4x.$

a) Tập xác định: $D = Rbackslash 4 .$
$mathop lim limits_x to pm infty [y – (4x + 5)] = mathop lim limits_x to pm infty frac7{2x – 8} = 0.$
Suy ra đường thẳng $y = 4x + 5$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b) Tập xác định: $D = ( – infty ;0] cup [4; + infty ).$
+ Khi $x to + infty $:
$a = mathop lim limits_x to + infty fracyx = mathop lim limits_x to + infty frac{sqrt {{x^2 – 4x} + 4x}}x$ $ = mathop lim limits_x to + infty left( sqrt {1 – frac{4x} + 4} right) = 5.$
$b = mathop lim limits_x to + infty (y – 5x)$ $ = mathop lim limits_x to + infty left( sqrt {{x^2 – 4x} – x} right)$ $ = mathop lim limits_x to + infty frac{{x^2 – 4x – x^2}}{sqrt {{x^2 – 4x} + x}}$ $ = mathop lim limits_x to + infty frac{ – 4}{sqrt {1 – frac{4x} + 1}} = – 2.$
Vậy khi $x to + infty $ thì đồ thị có tiệm cận xiên là $y = 5x – 2.$
+ Khi $x to – infty $:
$a = mathop lim limits_x to – infty fracyx$ $ = mathop lim limits_x to – infty frac{sqrt {{x^2 – 4x} + 4x}}x$ $ = mathop lim limits_x to – infty left( – sqrt {1 – frac{4x} + 4} right) = 3.$
$b = mathop lim limits_x to – infty (y – 3x)$ $ = mathop lim limits_x to – infty left( sqrt {{x^2 – 4x} + x} right)$ $ = mathop lim limits_x to – infty frac{{x^2 – 4x – x^2}}{sqrt {{x^2 – 4x} – x}}$ $ = mathop lim limits_x to + infty frac{ – 4}{ – sqrt {1 – frac{4x} – 1}} = 2.$
Vậy khi $x to – infty $ thì đồ thị có tiệm cận xiên là $y = 3x + 2.$

C. BÀI TẬP
1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = frac{2x + 3}{4 – {x^2}}.$
b) $y = frac{3{x^2 + 9x – 12}}{{x^2 + x – 2}}.$
c) $y = 2x – 5 + frac2{3 – x}.$
d) $y = frac{3{x^2 + 4x – 4}}{x – 3}.$

2. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = 2x – 4 + sqrt {x^2 – 4x + 3} .$
b) $y = frac{x + 1}{sqrt {{x^2 + 1} }}.$

3. Cho $left( {C_m} right):y = frac{2{x^2 + (m + 1)x – 3}}{x + m}.$
a) Định $m$ để tiệm cận xiên của $left( {{rm{C}_m}} right)$ đi qua $A(1;5).$
b) Tìm $m$ để giao điểm $2$ tiệm cận của $left( {C_m} right)$ thuộc $(P):y = x^2 – 3.$

4. Cho $(C):y = frac{{x^2 – 2x – 15}}{x – 3}.$ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ điểm $M$ bất kỳ trên $(C)$ đến hai tiệm cận của $(C)$ bằng một hằng số.

5. Cho $left( {C_m} right):y = frac{{x^2 + mx – 1}}{x – 1}.$ Tìm $m$ sao cho tiệm cận xiên của $left( {C_m} right)$ tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng $2.$

6. Tìm Những điểm trên (C): $(C):y = frac{2{x^2 + x – 1 + 4sqrt 5 }}{x + 1}$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.