30 đề hình ôn thi vào lớp 10 – Thư viện Đề thi và Kiểm tra Đề thi Toán Hình học lớp 9

Những bài tập mà KHODETHI.ORG Đề thi Toán Hình học lớp 9 xin thu thập lại các bạn học sinh về 30 đề hình ôn thi vào lớp 10, thông tin được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luận

Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®­êng trßn (O) lÇn l­ît t¹i M,N,P.
Chøng minh r»ng:
Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp .
Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.
X¸c ®Þnh t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.
Lêi gi¶i:
XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
( CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao)
( CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao)
=>( CEH + ( CDH = 1800

Mµ ( CEH vµ ( CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp
Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao =>BE ( AC => (BEC = 900.
CF lµ ®­êng cao =>CF ( AB => (BFC = 900.
Nh­ vËy E vµ F cïng nh×n BC d­íi mét gãc 900 =>E vµ F cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC.
VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: ( AEH = ( ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung
=>( AEH ( (ADC => => AE.AC = AH.AD.
* XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: ( BEC = ( ADC = 900 ; (C lµ gãc chung
=>( BEC ( (ADC => => AD.BC = BE.AC.
4. Ta cã (C1 = (A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC)
(C2 = (A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM)
=>(C1 = ( C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB ( HM => ( CHM c©n t¹i C
=>CB còng lµ ®­¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.
5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn
=> (C1 = (E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF)
Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp
(C1 = (E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)
(E1 = (E2 =>EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED.
Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.
Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®­êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.
Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .
Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Chøng minh ED = BC.
Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lêi gi¶i:
XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
( CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao)
( CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao)
=>( CEH + ( CDH = 1800
Mµ ( CEH vµ ( CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD ,
Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp
2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao =>BE ( AC => (BEA = 900.
AD lµ ®­êng cao =>AD ( BC => (BDA = 900.
Nh­ vËy E vµ D cïng nh×n AB d­íi mét gãc 900 =>E vµ D cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB.
VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®­êng cao nªn còng lµ ®­êng trung tuyÕn
=>D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã (BEC = 900 .
VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn =>DE = BC.
V× O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH =>OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => (E1 = (A1 (1).
Theo trªn DE = BC =>tam gi¸c DBE c©n t¹i D => (E3 = (B1 (2)
Mµ (B1 = (A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) =>(E1 = (E3 => (E1 + (E2 = (E2 + (E3
Mµ (E1 + (E2 = (BEA = 900 =>(E2 + (E3 = 900 = (OED => DE ( OE t¹i E.
VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i E.
5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm =>OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2 ( ED2 = 52 – 32 ( ED = 4cm

Bµi 3 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l­ît ë C vµ D. C¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N.
Chøng minh AC + BD = CD.
Chøng minh (COD = 900.
Chøng minh AC. BD = .
Chøng minh OC // BM
Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD.
Chøng minh MN ( AB.
X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Lêi gi¶i:
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM =>AC + BD = CM + DM.
Mµ CM + DM = CD =>AC + BD = CD
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ (AOM vµ (BOM lµ hai gãc kÒ bï =>(COD = 900.
Theo trªn (COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM ( CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ).
¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM,
Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM =>AC. BD =R2 => AC. BD = .
Theo trªn (COD = 900 nªn OC ( OD .(1)
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R =>OD lµ trung trùc cña BM => BM ( OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD).
Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®­êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh.
Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC ( AB; BD ( AB =>AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB
=>IO // AC , mµ AC ( AB => IO ( AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD
6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra
=>MN // BD mµ BD ( AB => MN ( AB.
7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB.
Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK.
Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lêi gi¶i: (HD)
1. V× I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B
Do ®ã BI ( BK hay(IBK = 900 .
T­¬ng tù ta còng cã (ICK = 900 nh­ vËy B vµ C cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Ta cã (C1 = (C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH.
(C2 + (I1 = 900 (2) ( v× (IHC = 900 ).
(I1 = ( ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O)
Tõ (1), (2) , (3) =>(C1 + (ICO = 900 hay AC ( OC.
VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm =>CH = 12 cm.
AH2 = AC2 – HC2 =>AH = = 16 ( cm)
CH2 = AH.OH =>OH = = 9 (cm)
OC = = 15 (cm)

Bµi 5 Cho ®­êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®­êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC ( MB, BD ( MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB.
Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp.
Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn .
Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi.
Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng.
T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d
Lêi gi¶i:
(HS tù lµm).
V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK ( NP ( quan hÖ ®­êng kÝnh Vµ d©y cung) =>(OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã (OAM = 900; (OBM = 900. nh­ vËy K, A, B cïng nh×n OM d­íi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OM.
VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R
=>OM lµ trung trùc cña AB => OM ( AB t¹i I .
Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã (OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®­êng cao.
¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao =>OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2.
4. Ta cã OB ( MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC ( MB (gt) =>OB // AC hay OB // AH.
OA ( MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD ( MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=>Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi.
5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. =>OH ( AB; còng theo trªn OM ( AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB).
6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. =>AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh­ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d lµ nöa ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R

Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. VÏ ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i D c¾t CA ë E.
Chøng minh tam gi¸c BEC c©n.
Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH.
Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (A; AH).
Chøng minh BE = BH + DE.
Lêi gi¶i: (HD)
( AHC = (ADE (g.c.g) =>ED = HC (1) vµ AE = AC (2).
V× AB (CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®­êng cao võa lµ ®­êng trung tuyÕn cña (BEC
=>BEC lµ tam gi¸c c©n. => (B1 = (B2
2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, (B1 = (B2 =>( AHB = (AIB
=>AI = AH.
3. AI = AH vµ BE ( AI t¹i I =>BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I.
4. DE = IE vµ BI = BH =>BE = BI+IE = BH + ED
Bµi 7 Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP >R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M.
Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn.
Chøng minh BM // OP.
§­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh.
BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng.
Lêi gi¶i:
(HS tù lµm).
Ta cã ( ABM néi tiÕp ch¾n cung AM; ( AOM lµ gãc ë t©m
ch¾n cung AM =>( ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c ( AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau )
=>( AOP = (2)
Tõ (1) vµ (2) =>( ABM = ( AOP (3) Mµ ( ABM vµ ( AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4)
XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : (PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); (NOB = 900 (gt NO(AB).
=>(PAO = (NOB = 900; OA = OB = R; (AOP = (OBN (theo (3)) => (AOP = (OBN => OP = BN (5)
Tõ (4) vµ (5) =>OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau).
Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh =>PN // OB hay PJ // AB, mµ ON ( AB => ON ( PJ
Ta còng cã PM ( OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m ta

Hỏi và đáp